计数杂题

循环周期问题

例某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

A．5
B．2
C．6
D．3

解析：甲部门每隔2天相当于每3天发布一次，乙部门每隔3天相当于每4天发布一次，3和4的最小公倍数是12，则甲、乙每 $3 \times 4 = 12$ 天就会同时发布一次。一个自然月最多有31天，假设甲、乙两部门1号同时发布一次，该自然月最多还有30天， $30 \div 12 = 2 ... 6$ 还可以同时发布两次。那么一个自然月最多共有 $2 + 1 = 3$ 天是同时发布的。故正确答案为D。

日期问题

月份天数

大月(31天): 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12月
小月(30天): 4, 6, 9, 11月
特殊月: 2月
- 平年: 28天
- 闰年: 29天

闰年判断
普通年份能被4整除且不能被100整除的是闰年
世纪年份能被400整除的是闰年
星期判断

每7天循环一次
可以使用"基姆拉尔森计算公式"快速计算任意日期的星期

基姆拉尔森计算公式

基姆拉尔森计算公式是一种快速计算任意日期对应星期的方法。公式如下：

$w = (d + \lfloor\frac{26(m+1)}{10}\rfloor + y + \lfloor\frac{y}{4}\rfloor + \lfloor\frac{c}{4}\rfloor - 2c) \bmod 7$

其中：

$w$ 是星期（0-星期日，1-星期一，2-星期二，...，6-星期六）
$d$ 是日期中的日（1-31）
$m$ 是月（3-14，即在公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月）
$y$ 是年（遇到1、2月时要减1）
$c$ 是年份前两位数
$\lfloor \rfloor$ 表示取整，即舍去小数部分

使用步骤：

如果是1或2月，则年份减1，月份加12
将年份的后两位数赋给y，前两位数赋给c
代入公式计算
结果模7后得到的数字即为星期几（0为星期日）

例题： 计算2023年5月1日是星期几。

解析：

$d = 1, m = 5, y = 23, c = 20$
代入公式： $w = (1 + \lfloor\frac{26(5+1)}{10}\rfloor + 23 + \lfloor\frac{23}{4}\rfloor + \lfloor\frac{20}{4}\rfloor - 2*20) \bmod 7$ $= (1 + 15 + 23 + 5 + 5 - 40) \bmod 7$ $= 9 \bmod 7$ $= 2$
结果为2，表示星期一

因此，2023年5月1日是星期一。

A．5
B．2
C．6
D．3

例根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

A. 周一或周三
B. 周三或周日
C. 周一或周四
D. 周四或周日

解析：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。
第二步，将8月分为前3天（1、2、3日）和后28天（4周），1周有5 个工作日，则4周有4×5=20（个）工作日。由8月有22个工作日可知，1、 2、3日这三天中有2个工作日，可能为周日、周一、周二或周四、周五、周六，故1号可为周四或周日。
因此，选择D选项。

比赛问题

例某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

解析：第一步，本题考查比赛问题，用枚举法解题。
第二步，两两争夺出线权即为淘汰赛模式。
第1轮：23÷2=11组……1支，第一次轮空；
第2轮：（11＋1）÷2=6组，无轮空；
第3轮： 6÷2=3组，无轮空；
第4轮：3÷2=1组……1支，第二次轮空；
第5轮：（1＋1）÷2=1组，结束。
故一共轮空2次。因此，选择B选项。

例某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单循环形式，即每两个队之间都赛一场，如果学生处计划安排21场比赛，则应邀请多少支球队参加比赛?

A．5
B．8
C．7
D．6

解析：单循环比赛每两队之间只比赛一场，若安排 21 场比赛需要邀请 $n$ 支球队参加，则列式应为：

C_n^2 = \frac{n \times (n - 1)}{2} = 21

解得 $n = 7$ 。故正确答案为 C。

钟表问题

基本思路

钟表问题本质上是"追及问题"和"比例问题"的变形。我们需要利用钟面上的"路程"、"时间"以及"速度"之间的关系来求解。

关键概念

2.1 角度关系

钟面一圈为360°,我们需要记住以下关键数据:

每小时:
- 时针走30°
- 分针走360°
- 时针与分针相差: 360° - 30° = 330°
每分钟:
- 时针走0.5°
- 分针走6°
- 时针与分针相差: 6° - 0.5° = 5.5°

2.2 速度关系

时针:
- 每分钟走0.5°
- 每小时走30°
分针:
- 速度是时针的12倍
- 每分钟走6°
- 每小时走360°
时针与分针的速度差:
- 每分钟相差5.5°
- 每小时相差330°

重要公式

3.1 时针与分针夹角计算公式:

$\theta = |30h - 5.5m|$

其中, $\theta$ 为夹角(°), $h$ 为小时数(0-11), $m$ 为分钟数(0-59)

3.2 时针与分针重合的时间间隔:

每隔 $\frac{360°}{5.5°/分钟} \approx 65.45$ 分钟,时针与分针会重合一次

解题技巧
角度转换: 注意将题目中给出的时间转换为角度,或将角度转换回时间。
速度差应用: 利用时针与分针的速度差来解决追及类问题。
周期性: 钟表问题具有周期性,每12小时循环一次,可以简化计算。
特殊时刻: 记住一些特殊时刻的夹角,如3:00时夹角为90°,6:00时夹角为180°。

例题: 在12小时内,时针与分针重合几次?

解析:

利用重合时间间隔公式,我们知道约每65.45分钟重合一次
12小时 = 720分钟
重合次数 = 720 ÷ 65.45 ≈ 11次

因此,在12小时内,时针与分针重合11次。

例从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有

A.1 次
C.3 次
B.2 次
D.4 次

解法1：角度、度数差。
B。一个小时内成直角只有两次。时刻分别为下图所示：
第一次90度的时候，即相差90度，又根据时针分针每分钟差5.5°， 90/5.5=16 ，即12点过16分的时候第一次成90度。
第二次90度时，270/5.5=49 ，即12点过49分第二次成90度

则钟面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下关系： 1.一圈按“小时”分12大格时针：每小时走1格，每分钟走1/60格，分针：每小时走12格，每分钟走1/5格，时针分针每小时差11格，每分钟差11/60格（1）每小时：时针1大格，分针12大格，相差12-1=11大格时针每小时走1大格，分针每小时走12大格，它们每小时相差12-1=11 大格，
（2）每分钟：分针比时针多走11/60大格 2.一圈按“分钟”分60小格时针：每分钟走1/12格，每小时走5格，分针：每分钟走1格，每小时走60格，时针分针每分钟差11/12格，每小时差55格（1）每小时：时针5小格，分针60小格，相差60-5=55小格时针每小时走5小格，分针每小时走60小格，它们每小时相差60-5=55 小格，（2）每分钟：每分钟分针比时针多走11/12小格记角度划分的数值即可，12大格的数值直接用角度的除以30，60小格用角度的除以6

例钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360度，则24小时内时针和分针成直角共有多少次?

A.28
C.44
B.36
D.48

一圈按“分钟”分60小格时针：每分钟走1/12格，每小时走5格，分针：每分钟走1格，每小时走60格，时针分针每分钟差11/12格，每小时差55格（1）每小时：时针5小格，分针60小格，相差60-5=55小格时针每小时走5小格，分针每小时走60小格，它们每小时相差60-5=55 小格，（2）每分钟：每分钟分针比时针多走11/12小格记角度划分的数值即可，12大格的数值直接用角度的除以30，60小格用角度的除以6
三、时针分针成直角★ 一个小时内有两次，3点、9点、15点、21点特殊，只有一次垂直，所以24小时有2×24-4=44次（一）1个小时内有两次（二）3点、9点、15点、21点特殊，只有一次垂直（三）所以24小时有2×24-4=44次

数列问题

通项公式：

a_n = a_1 + (n - 1) \times d

a_n = a_m + (n - m) \times d

求和公式：

S_n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}

S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}

S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}

等差数列通项公式： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$

等差数列通项公式（重复）：

a_n = a_1 + (n - 1) \times d

通项公式（重复）：

a_n = a_1 + (n - 1) \times d

a_n = a_m + (n - m) \times d

等差数列通项公式：
$a_n = a_1 + (n - 1) \times d$
等差数列通项公式（重复）：
$a_n = a_1 + (n - 1) \times d$
通项公式：
$a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ $a_n = a_m + (n - m) \times d$
等差数列求和公式：
$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \times n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$
前 $n$ 项和公式为：
$S_n = a_1 \times n + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$
以上 $n$ 均属于正整数。

求和公式：
$S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$ $S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$

类别	等差数列	等比数列
定义	$a_{n+1} - a_n = d$	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$
通项公式	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_{n+1} = a_n q$
	$a_n = a_m + (n - m) d$	$a_n = a_m q^{n - m}$
性质	$m + n = r + s$	$a_m a_n = a_r a_s$
	$a_m + a_n = a_r + a_s$
求和公式	$S_n = \frac{n (a_1 + a_n)}{2}$
	$S_n = n a_1 + \frac{n(n - 1)}{2} d$

页码问题

页码数加减（等差求和公式的运用）

页码为等差数列，页码和：

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n = \frac{1 + n}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}

书本页码一般从第一页计算，第 $n$ 页对应 $n$ 。

页码和：

S = \left[ \frac{(a_1 + a_n)}{2} \right] \times n = \frac{(1 + n)}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}

例一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和为8037，则该书最多有多少页？

A. 134
B. 136
C. 138
D. 140

解析：（1）纸张页码，正面奇数，反面偶数（如第一张纸，正面是第1 页，反面是第2页），1张纸页码和为奇数，4张纸页码和为偶（4个奇数和为偶），剩余页码和8037为奇，则原来页码和为奇（奇＋偶=奇）

页码字符数：

即字符个数，6 页有 1 个字符（6），16 页有 2 个（1、6），115 页有 3 个（1、1、5）。

第 1 页—第 9 页，字符数：9 个。
第 10 页—第 99 页，字符数有： $90 \times 2 = 180$ 个。
第 100 页—第 999 页，字符数有： $900 \times 3 = 2700$ 个。
第 1000 页—第 9999 页，字符数有： $9000 \times 4 = 36000$ 个。

依次类推。

三位数页码：
字符数 = (页码数 - 36) $\times 3$
页码数 = (字符数 $\div 3$ ) + 36

\text{页码数} = \frac{\text{字符数}}{3} + 36

例：

189 < \text{字符数} < 2889

（通常情况下不会考千位数书本页数）

例编编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共多少页？

A. 117
B. 126
C. 127
D. 189

解析：

方法 1：

一位数页码：1~~9 页，共 9 × 1 = 9 个数字； 两位数：10~~99，共 90 × 2 = 180 个数字。剩 270 - 9 - 180 = 81 个数只能为三位数页。
81 个数可编三位数：

\frac{81}{3} = 27 \text{页}

即 100~126 共 126 页。B。

拓展：一定要注意三位数页码从 100 开始，非 101 开始，否则易错选 C，正确答案应比干扰项小 1。

方法 2：

三位数页码公式法：

\text{页码数} = \frac{\text{字符数}}{3} + 36 = \frac{270}{3} + 36 = 90 + 36 = 126

例一本数学辅导书共有200页，编上页码后。问数字“1” 在页码中出现了多少次？

A. 100
B. 121
C. 130
D. 140

解析：分别计算出现在各个数位上的“1”的次数。
个位是1：百位可取0或1，十位可取09，出现10×2=20（次）；
十位是1：百位可取0或1，个位可取09，出现10×2=20（次）；
百位是1：十位和个位均可取0~9，出现10×10=100（次）。故“1”共出现20＋20＋100=140（次）。D。

牛吃草问题基础数列