计数杂题

循环周期问题

例 某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发 布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问 甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

• A．5
• B．2
• C．6
• D．3

日期问题

1. 月份天数

• 大月(31天): 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12月
• 小月(30天): 4, 6, 9, 11月
• 特殊月: 2月
  • 平年: 28天
  • 闰年: 29天

2. 闰年判断

3. 普通年份能被4整除且不能被100整除的是闰年

4. 世纪年份能被400整除的是闰年

5. 星期判断

• 每7天循环一次
• 可以使用"基姆拉尔森计算公式"快速计算任意日期的星期

基姆拉尔森计算公式

基姆拉尔森计算公式是一种快速计算任意日期对应星期的方法。公式如下：

$w = (d + \lfloor\frac{26(m+1)}{10}\rfloor + y + \lfloor\frac{y}{4}\rfloor + \lfloor\frac{c}{4}\rfloor - 2c) \bmod 7$

其中：

• $w$ 是星期（0-星期日，1-星期一，2-星期二，...，6-星期六）
• $d$ 是日期中的日（1-31）
• $m$ 是月（3-14，即在公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月）
• $y$ 是年（遇到1、2月时要减1）
• $c$ 是年份前两位数
• $\lfloor \rfloor$ 表示取整，即舍去小数部分

使用步骤：

1. 如果是1或2月，则年份减1，月份加12
2. 将年份的后两位数赋给y，前两位数赋给c
3. 代入公式计算
4. 结果模7后得到的数字即为星期几（0为星期日）

例题： 计算2023年5月1日是星期几。

解析：

1. $d = 1, m = 5, y = 23, c = 20$
2. 代入公式： $w = (1 + \lfloor\frac{26(5+1)}{10}\rfloor + 23 + \lfloor\frac{23}{4}\rfloor + \lfloor\frac{20}{4}\rfloor - 2*20) \bmod 7$ $= (1 + 15 + 23 + 5 + 5 - 40) \bmod 7$ $= 9 \bmod 7$ $= 2$
3. 结果为2，表示星期一

因此，2023年5月1日是星期一。

例 某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发 布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问 甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

• A．5
• B．2
• C．6
• D．3

例 根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份 有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

• A. 周一或周三
• B. 周三或周日
• C. 周一或周四
• D. 周四或周日

比赛问题

例 某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队 伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一 轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

例 某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单 循环形式，即每两个队之间都赛一场，如果学生处计划安排21场比赛，则应 邀请多少支球队参加比赛?

• A．5
• B．8
• C．7
• D．6

钟表问题

1. 基本思路

钟表问题本质上是"追及问题"和"比例问题"的变形。我们需要利用钟面上的"路程"、"时间"以及"速度"之间的关系来求解。

2. 关键概念

2.1 角度关系

钟面一圈为360°,我们需要记住以下关键数据:

• 每小时:

  • 时针走30°
  • 分针走360°
  • 时针与分针相差: 360° - 30° = 330°

• 每分钟:

  • 时针走0.5°
  • 分针走6°
  • 时针与分针相差: 6° - 0.5° = 5.5°

2.2 速度关系

• 时针:

  • 每分钟走0.5°
  • 每小时走30°

• 分针:

  • 速度是时针的12倍
  • 每分钟走6°
  • 每小时走360°

• 时针与分针的速度差:

  • 每分钟相差5.5°
  • 每小时相差330°

3. 重要公式

3.1 时针与分针夹角计算公式:

$\theta = |30h - 5.5m|$

其中, $\theta$ 为夹角(°), $h$ 为小时数(0-11), $m$ 为分钟数(0-59)

3.2 时针与分针重合的时间间隔:

每隔 $\frac{360°}{5.5°/分钟} \approx 65.45$ 分钟,时针与分针会重合一次

4. 解题技巧

5. 角度转换: 注意将题目中给出的时间转换为角度,或将角度转换回时间。

6. 速度差应用: 利用时针与分针的速度差来解决追及类问题。

7. 周期性: 钟表问题具有周期性,每12小时循环一次,可以简化计算。

8. 特殊时刻: 记住一些特殊时刻的夹角,如3:00时夹角为90°,6:00时夹角为180°。

例题: 在12小时内,时针与分针重合几次?

解析:

1. 利用重合时间间隔公式,我们知道约每65.45分钟重合一次
2. 12小时 = 720分钟
3. 重合次数 = 720 ÷ 65.45 ≈ 11次

因此,在12小时内,时针与分针重合11次。

例 从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有

• A.1 次
• C.3 次
• B.2 次
• D.4 次

例 钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360度， 则24小时内时针和分针成直角共有多少次?

• A.28
• C.44
• B.36
• D.48

数列问题

1. 通项公式： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ $a_n = a_m + (n - m) \times d$

2. 求和公式： $S_n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$ $S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$ $S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$

3. 等差数列通项公式： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$

等差数列通项公式（重复）： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$

通项公式（重复）： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ $a_n = a_m + (n - m) \times d$

1. 等差数列通项公式： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ 等差数列通项公式（重复）： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ 通项公式： $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ $a_n = a_m + (n - m) \times d$

2. 等差数列求和公式： $S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \times n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$

   前 $n$ 项和公式为： $S_n = a_1 \times n + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$ 以上 $n$ 均属于正整数。

   求和公式： $S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$ $S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}$

页码问题

1. 页码数加减（等差求和公式的运用）

页码为等差数列，页码和： $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n = \frac{1 + n}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}$ 书本页码一般从第一页计算，第 $n$ 页对应 $n$。

页码和： $S = \left[ \frac{(a_1 + a_n)}{2} \right] \times n = \frac{(1 + n)}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}$

例 一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和 为8037，则该书最多有多少页？

• A. 134
• B. 136
• C. 138
• D. 140

2. 页码字符数：

即字符个数，6 页有 1 个字符（6），16 页有 2 个（1、6），115 页有 3 个（1、1、5）。

1. 第 1 页—第 9 页，字符数：9 个。
2. 第 10 页—第 99 页，字符数有：$90 \times 2 = 180$ 个。
3. 第 100 页—第 999 页，字符数有：$900 \times 3 = 2700$ 个。
4. 第 1000 页—第 9999 页，字符数有：$9000 \times 4 = 36000$ 个。

依次类推。

3. 三位数页码：

4. 字符数 = (页码数 - 36) $\times 3$

5. 页码数 = (字符数 $\div 3$) + 36

$\text{页码数} = \frac{\text{字符数}}{3} + 36$

例：
$189 < \text{字符数} < 2889$ （通常情况下不会考千位数书本页数）

例 编编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页 码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共多少页？

• A. 117
• B. 126
• C. 127
• D. 189

例 一本数学辅导书共有200页，编上页码后。问数字“1” 在页码中出现了多少次？

• A. 100
• B. 121
• C. 130
• D. 140