排列组合
(一)排列和排列数
1. 排列 A(array)
从 个不同元素中,任取 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。
2. 排列数公式:
从 个不同元素中取出 个元素的所有排列数为:
当 时,为全排列
排列其实相当于一步步的组合。大学寝室选 6 人去打饭,在窗口排队共有
种,第一位有 6 种,排第二有 5 种⋯⋯第六有 1 种,所以一共有 种,相当于 种。
假如只是从 6 人中选 3 人打饭,不用排队,则是 种,如果算上排队,则 种,即相当于一开始就选出排队的 种。
注意: 先组合再排列,注意排列的是 中的 ,一定是 分不同情况下有顺序,如果不区分,则不用乘 。
(二)组合和组合数
1. 组合 C(combination)
从 个不同元素中,任取 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。
2. 组合数公式:
从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数
从寝室 6 人中选 2 人去打饭,剩下 4 人在寝室,选 2 人打饭和留 4 人在寝室是一样的,2 人打饭即剩的 4 人肯定在寝室,所以
区别: 排列——与顺序有关,组合——与顺序无关。
(三)加法原理和乘法原理
1. 加法原理
完成一件事,有 类办法,在第 1 类办法中有 种不同的方法,在第 2 类办法中有 种不同的方法⋯⋯在第 类办法中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法。
例如: 从甲地到乙地,一天中,火车有 3 趟,汽车有 2 趟,那么一天中从甲地到乙地有几种方式? 解析 从甲地到乙地的方式可以是乘坐火车或者汽车。既然有 3 趟火车和 2 趟汽车,那么总的出行选择方式就是火车和汽车的选择方式之和。
- 选择火车的方式有 3 种。
- 选择汽车的方式有 2 种。
因此,总的方式数是 3 + 2 = 5 种。所以,一天中从甲地到乙地总共有 5 种不同的方式。
2. 乘法原理
完成一件事需要 个步骤,做第 1 步有 种不同的方法,做第 2 步有 种不同的方法,⋯⋯做第 步有 种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法。
例如: 从甲地到乙地,必须先经过丙地,一天中,从甲地到丙地火车有 3 趟,从丙地到乙地汽车有 2 趟,那么一天中从甲地到乙地有几种方式? 解析 要从甲地到达乙地,因为必经丙地,所以需要考虑从甲地到丙地,再从丙地到乙地的组合方式。 从甲地到丙地有 3 趟火车可选,从丙地到乙地有 2 趟汽车可选。每趟火车都可以搭配 2 趟汽车中的任一趟,因此,总的组合方式为: 3 趟火车 * 2 趟汽车 = 6 种方式 所以,一天中从甲地到乙地总共有 6 种不同的方式。
解题策略
1. 内部组合,外部排列
例1: 某次专业技能大赛有来自A科室的4名职工和来自B科室 的2名职工参加,结果有3人获奖且每人的成绩均不相同。如果获奖者中最 多只有1人来自B科室,那么获奖者的名单和名次顺序有多少种不同的可能 性?
- A. 48
- B. 72
- C. 96
- D. 120
解析: 分类。
-
情况 1: 获奖 B 科 1 人,A 科 2 人,B 选 1,有 2 种,A 选 2,有 种,获奖 3 人排序有 种,总情况 2 种(错误点: 情况 1,A 选 2 时不能直接先排 ,易错)。
-
情况 2: 获奖三人都是 A:A 选 3,有 种。两种情况相加 种。C。
分步组合时,已经排列,不需再排列。一次性组合出来可以再 A 排列,如果本身是分步操作组合选取,则不需要再排列。
易错点: 两个一样的东西组合,不分顺序的情况下,一定有一次重复,总情况数一定要减掉重复的。
2. 错位排列
主体完全错位,欧拉错装信封问题:
【递推公式】:
3. 圆周排列
个元素,共有 种
关键词: 环形/围成一圈/圆桌: 个元素,共有 种
主体环形而坐,圆周排列, 个元素/人的环形排列数:
例: 3 人直线排列有 种,环形排列有
种。
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4. 平均分组
全部平均分组
-
有 个组,元素个数相同,只需要分组不用排列。
-
排列总情况数 ÷
分成 组,先排列,再 ÷ ,即: 分成 3 组,÷ ,分成 4 组,÷ ,分成 5 组,÷ ,分成 组,÷ 。
5. 比赛问题
循环赛:
支队伍进行循环赛
- 单循环: 比赛场次 =
一般意义上的循环赛,
任意两支队伍打一场比赛: 比赛场次 =
- 双循环:
任意两支队伍打两场比赛 = 单循环 ,分主客场:
比赛场次 = 【基本不考】
淘汰赛:
每场比赛淘汰一支队伍,每轮比赛淘汰一半的队伍。
- 按轮淘汰:
个人,每次分 2 组比赛,每次淘汰一半人,决出胜负需比赛 次。
- ① 16 人,分成两组每组 8 人,比赛 8 场淘汰一半剩 8 人。
- ② 8 人,再分成两组各 4 人比赛第 4 场,淘汰一半剩 4 人。
- ③ 4 人,分成两组各 2 人比赛第 2 场,淘汰一半剩 2 人。
- ④ 2 人,最后 1 场决出胜负。
一共比赛 场。比赛场次 = 。
-
按场淘汰
-
个人比赛,决出冠亚军,比赛场次 =
-
个人比赛,决出 1, 2, 3, 4 名,比赛场次 =
即决出冠亚军后,还有两个人要比赛决出第三名和第四名,在原来基础上多一场比赛,。
例: 100 人比赛,每场淘汰一个,最后剩 1 个冠军,则一共进行 99 场比赛,淘汰了 99 人。
6. 递推方法
本质是递推过程,即斐波那契数列。
像 。
本质是一个递推和数列,从第三项开始为前两项之和。
等递推公式
7. 多人传球
个人传 次球,有多少种传球方式:
- 与 最接近的整数:最终传给“非自己”的某人。
- 与 第二接近的整数:最终传给自己。
解题方法
(一)特殊优先
- 题目: 某一个或几个元素在指定位置或不在指定位置。
- 原则: 谁特殊,优先谁!
位置优先 或 元素优先。
(二)捆绑法
- 主体相邻,捆绑法。
- 内部排列 + 外部打包排列
先捆绑,整体排列完再内部排。
(三)插空法
- 主体不相邻,不能连着/连续不能挨着。
- 技巧: 先排其他,再插“不相邻”。
(1) 个物体 个空(包括两端),物体之间 个空。 不相邻对象去插另一对象的空(不是反过来), 个物体 个空(包括两端),物体之间 个空。
(2) 先单独将被插空对象排列,再插空。
(3) 两种主体都不能连续,多数量主体插少数量主体的空(包括两端)。
(四)插板法
- 相同元素分配问题,每组至少分到多少个
(1) 相同元素分配(说明不需排列,无顺序);
(2) 每组至少分一个;
(3) 所分组不同。
- 个元素分成 组,每组至少 1 个: 种方法
(1) 个元素分成 组,每组至少 1 个: 种方法。
(2) 个元素分成 个:转化成每组至少 1 个。
先每组分 个,剩 个,再按每组至少 1 个分,共 种。
例 1. 3 个人分 5 个苹果,每人至少一个,有多少种分法?
解析: 等价于“ 有多少组正整数解?”用隔板法,答案为 。
(五)逆向计数法
- 正难则反,逆向计数。
- 正面情况多,反面情况少。
例 1. 某班有 50 名学生,其中 20 名男生,30 名女生。从中选出 3 名学生,至少有 1 名男生,有多少种选法?
解析: 正面情况多,反面情况少。 解法一: 我们需要从 50 名学生中选出 3 名学生,且至少有 1 名男生。我们可以通过以下步骤来解决这个问题:
-
计算总的选法数: 从 50 名学生中选出 3 名学生的总选法数是:
-
计算没有男生的选法数: 没有男生的情况意味着选出的 3 名学生全是女生。班上有 30 名女生,从中选出 3 名女生的选法数是:
-
计算至少有 1 名男生的选法数: 至少有 1 名男生的选法数等于总选法数减去没有男生的选法数:
因此,至少有 1 名男生的选法数是:
解法二: 要解这个问题,我们可以通过计算总的选择方法,然后减去全是女生的选择方法。
- 计算总的选择方法:从 50 名学生中选择 3 名,不考虑性别。使用组合数的计算方法,这可以表示为 C(50, 3)。
- 计算全是女生的选法:从 30 名女生中选择 3 名。这可以表示为 C(30, 3)。
- 计算至少有 1 名男生的选法:总的选择方法减去全是女生的选法,即 19600 - 4060 = 15540。 因此,从这 50 名学生中选出 3 名学生,且其中至少有 1 名男生的选择方法共有 15540 种。
例题讲解
例1: 四对情侣排成一队买演唱会门票,已知每对情侣必须排在 一起,问共有多少种不同的排队顺序?
- A.24 种
- B.96 种
- C.384 种
- D.40320 种
解析: 捆绑法。
- 每对情侣捆绑在一起,相当于 4 对情侣排成一排,有 种排法。
- 每对情侣内部有 种排法,所以总共有 种排法。
- C。
例2: 某市举办经济建设成就展,计划在六月上旬组织5个 单位参观,其中1个单位由于人数较多,需要连续参观2天,其他4个单位 只需参观1天,若每天最多只能安排一个单位参观,则参观的时间安排共有 ()种。
- A.650
- B.700
- C.15120
- D.16800
捆绑法。连续参观2天看作一个整体,6月上旬一共10天,将整 体的2天和其他8天看作9个时段,安排5个单位参观,有A9 5=15120种。C。 捆绑的两天不用排列。
例3: 将7个大小相同的桔子分给4个小朋友,要求每个小朋友 至少得到1个桔子,一共有几种分配方法?
- A.14
- B.18
- C.20
- D.22
解析: 插板法,7 个桔子分 4 人,每人至少一个,相当于在中间 6 个空插 3 个板,则共有 种。C。
例4: 某企业选拔170多名优秀人才平均分配为7组 参加培训。在选拔出的人才中,党员人数比非党员多3倍。接受培训的党员 中的10%在培训结束后被随机派往甲单位等12个基层单位进一步锻炼。已知 每个基层单位至少分配1人,问甲单位分配人数多于1的概率在以下哪个范 围内?
- A.不到14%
- B.14%-17%之间
- C.17%-20%之间
- D.超过20%
解析:(1)170多人且是7的倍数,则总人数应为175,党员和非党员 比例4:1,分别为140和35,所以14个党员分配给12个单位C14 12。 (2)甲分配多于1只有两种情况, 第一种情况:甲 3 人,其他单位全是 1 人,只有 1 种情况。
第二种情况:甲 2 人,其他单位一个 2,其他全是 1,相当于 12 个人分到 11 个单位每个单位至少 1 人,插空 种情况,共 11 + 1 = 12 种情况。
概率为 ,B。
方法 2:反面即甲分配 1 个,剩下 13 分配给 11 个人,插板 ,概率为 。正面分两种,反面只有一种情况。B。
例5: 某论坛邀请了六位嘉宾,安排其中三人进行单独演 讲,另三人参加圆桌对话节目。如每位嘉宾都可以参加演讲或圆桌对话,演 讲顺序分先后且圆桌对话必须安排在任意两场演讲之间,问一共有多少种不 同的安排方式?
- A. 120
- B. 240
- C. 480
- D. 1440
解析:插空法。 圆桌对话须在任意两场演讲之间,则: (1)圆桌对话相邻; (2)圆桌不能在演讲两端。 六人中选三人按先后演讲,有种,三场演讲之间两个空,圆桌对话有 种,共。B。
例6: 把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两 侧,每侧种植9棵,要求每侧的柏树数量相等且不相邻,且道路起点和终点 处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?
- A.36
- B.50
- C.100
- D.400
解析:
-
每侧 3 棵柏树,9 - 3 = 6 棵松树。
-
“不相邻”插空,柏树不相邻,两端是松树,则柏树只能插在松树中间,6 棵松树中间有 5 个空,故柏树有种。
-
“两侧”则有 种。C。【树都一样,而且两边各 9 固定,不需再排列】。
例7: 四位厨师聚餐时各做一道拿手菜。现在要求每人去品尝一 道菜,但不能尝自己的那道。问共有几种不同尝法?
- A.6 种
- B.9 种
- C.12 种
- D.15 种
解析: 错位排列:。B。
例8: 5个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错 的可能情况有几种?
- A.6
- B.10
- C.12
- D.20
解析: 先贴错的3个找出来,再3个错位排列,。D。
例9: 某部门从8名员工中选派4人参加培训,其中2人参 加计算机培训,1人参加英语培训,1人参加财务培训,问不同的选法有多少 种?
- A.256
- B.840
- C.1680
- D.5040
解析: 整体分步讨论,8 选 2 参加计算机, 剩余 6 选 1 参加英语,,剩余 5 选 1 参加财务,,总情况为 ,或或 B
例10: 有5对夫妇参加一场婚宴,他们被安排在一张10个 座位的圆桌就餐,但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系,只是随机 安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少?
- A. 在1‰到5‰之间
- B. 在5‰到1%之间
- C. 超过1%
- D. 不超过1‰
解析: 圆周排列,5 对夫妻先打包环形排列有 种,每对夫妻之间有 2 种,则
A
例11: 某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参 加,比赛采用淘汰赛制,在比赛中负一场的选手即被淘汰,直至决出最后的 冠军,如每名选手每天最多参加一场比赛,则比赛至少需要举行几天?
- A.4
- B.5
- C.6
- D.7
解析:按轮淘汰。要使比赛天数最少,则每天比赛选手尽可能多,加之 每名选手每天最多参加一场比赛, 第一天总共比赛48÷2=24场,还剩24名;第二天24÷2=12场,剩12 名;第三天12÷2=6场,剩6名;第四天6÷2=3场,剩3名;第五天选2人 比赛,淘汰1人;第六天,剩下的2人决出冠军。至少6天。C
例12: 16支球队分两组,每组打单循环赛,共需打多少场比 赛?
- A.16
- B.56
- C.64
- D.120
解析: 单循环赛,则每组比赛有场,两组共需打场。B。
例13: 四人进行篮球接球练习,要求每人接球后再传给别人。 开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则 共有传球方式( )种。
- A.60 种
- B.65 种
- C.70 种
- D.75 种
根据传球公式,个人传 次球,4 个人传 5 次球,则
与 第二接近的整数是最终传回自己手中的方法数,最接近整数是 61,第二接近整数是 60。A。
例14: 某县通过发展旅游业来实现乡村振 兴,引进了甲、乙、丙、丁、戊和己6名专家。其中甲、乙、丙是环境保护 专家,丁、戊、己是旅游行业专家,甲、丁、戊熟悉社交媒体宣传。现要将6 名专家平均分成2个小组,每个小组都要有环境保护专家、旅游行业专家和 熟悉社交媒体宣传的人,问有多少种不同的分组方式?
- A.12
- B.24
- C.4
- D.8
解析: 随机选三个分到一组,剩余为另一组,方法数为 ,涉及均匀分组问题,故为: 种,剔除 2 种不符合的情况(甲乙丙、丁戊己)(甲丁戊、乙丙丁), 还剩 种。D。
例15: 某班同学要订 A、B、C、D 四种学习报,每人至少 订一种,最多订四种,那么每个同学有多少种不同的订报方式?
- A.7 种
- B.12 种
- C.15 种
- D.21 种
解析: 方法 1:
,C。
方法 2: 每份报纸分两种情况:订和不订,所有可能 = 不订 = 2 × 2 × 2 × 2 - 1 = 15。