排列组合

排列组合是公务员考试中的高频考点，既是重点也是难点。但实际上，只要掌握了核心概念、基本方法和常见题型，这类题目就可以轻松拿下。本章将带你由浅入深，彻底掌握排列组合。

一、核心概念

在学习具体的公式和技巧之前，我们必须先理解排列组合最底层的两个基本原理：加法原理和乘法原理。

（一）两大基本原理

1. 加法原理（分类思想）

核心： 完成一件事，有若干类方法，类与类之间是独立的，任何一类方法中的任何一种方法都能独立完成任务。最终的方法数是各类方法数相加。

口诀： 分类用加法，类类独立。

生活实例： 小明周末要从家去图书馆，他可以选择步行、骑行或者乘坐公交车。

• 步行有2条不同的路线。
• 骑行有3条不同的路线。
• 乘坐公交车有2路车可以到达。

请问小明从家到图书馆共有多少种不同的方式？

解析： 这里的“去图书馆”这件事，可以分为三“类”方式：步行、骑行、坐公交。每一类方式都可以独立完成这件事。

• 第1类：步行，有2种方法。
• 第2类：骑行，有3种方法。
• 第3类：坐公交，有2种方法。 根据加法原理，总的方法数就是各类方法数之和： $N = 2 + 3 + 2 = 7$ 所以，小明共有7种不同的方式去图书馆。

2. 乘法原理（分步思想）

核心： 完成一件事，需要分成若干个步骤，每个步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能最终完成任务。最终的方法数是各个步骤的方法数相乘。

口诀： 分步用乘法，步步相连。

生活实例： 小红参加聚会，需要先选一件上衣，再选一条裤子。衣柜里有3件不同的上衣和2条不同的裤子。请问小红有多少种不同的搭配方式？

解析： 这里的“搭配”这件事，需要分两“步”完成：第一步选上衣，第二步选裤子。

• 第1步：选上衣，有3种选择。
• 第2步：选裤子，有2种选择。 对于每一种上衣的选择，都可以搭配2种不同的裤子。根据乘法原理，总的搭配方式就是各步骤方法数之积： $N = 3 \times 2 = 6$ 所以，小红共有6种不同的搭配方式。

（二）排列与组合

1. 排列 (Permutation, 记作 A)

定义： 从 $n$ 个不同元素中，取出 $m$（$m \le n$）个元素，并按照一定的顺序排成一列。

核心： “取出”并“排序”，顺序至关重要。

生活实例： 班级要从甲、乙、丙3位同学中，选出2位分别担任班长和学习委员。有多少种不同的选举结果？

解析： 这里不仅要选出2个人，还要给他们分配不同的职位（班长、学习委员），顺序是重要的（甲当班长、乙当学委 vs 乙当班长、甲当学委，是两种不同结果）。 我们可以分步考虑：

• 第一步：选举班长。从3位同学中选1位，有3种选择。
• 第二步：选举学习委员。剩下2位同学中选1位，有2种选择。 根据乘法原理，总的选举结果有 $3 \times 2 = 6$ 种。

公式推导： 从 $n$ 个不同元素中，有顺序地选出 $m$ 个。

• 选第1个位置的元素，有 $n$ 种选择；
• 选第2个位置的元素，有 $n-1$ 种选择；
• ...
• 选第 $m$ 个位置的元素，有 $n-m+1$ 种选择。 根据乘法原理，总的排列数（记作 $A_n^m$ 或 $P_n^m$）为：

特别地，当 $m=n$ 时，称为全排列，$A_n^n = n!$（读作n的阶乘）。

2. 组合 (Combination, 记作 C)

定义： 从 $n$ 个不同元素中，只取出 $m$（$m \le n$）个元素，并成一组，不考虑顺序。

核心： 只“取出”，不“排序”，顺序无关。

生活实例： 班级要从甲、乙、丙3位同学中，选出2位去参加一个座谈会。有多少种不同的选法？

解析： 这里只是选出2个人，谁先被选中、谁后被选中没有区别（选出“甲和乙”与选出“乙和甲”是同一种结果）。

• 所有可能的结果是：{甲, 乙}、{甲, 丙}、{乙, 丙}。共3种。

公式推导： 如何计算组合数 $C_n^m$ 呢？我们可以借助排列来理解。 排列（$A_n^m$）可以看作两步：

• 第一步：组合。先从 $n$ 个元素中不计顺序地选出 $m$ 个，这就是组合数 $C_n^m$。
• 第二步：排列。将这选出的 $m$ 个元素进行全排列，有 $A_m^m = m!$ 种方法。 根据乘法原理，$A_n^m = C_n^m \times m!$。 因此，我们可以推导出组合数公式：

重要性质： 从n个里面选m个，等价于从n个里面“剩下”n-m个。所以 $C_n^m = C_n^{n-m}$。例如，从6人中选2人去打饭（$C_6^2$），和从6人中选4人留守寝室（$C_6^4$）的选法数是一样的。

二、技巧总结

排列组合的题目千变万化，但万变不离其宗。掌握以下核心解题策略，就能应对绝大多数问题。

（一）两大思维核心：分类与分步

解排列组合题，第一步永远是判断用加法还是乘法原理。

• 分类用加法：完成一件事有几“类”方法，类与类互不干扰，任何一类都能独立完成。总方法 = 方法1 + 方法2 + ...
• 分步用乘法：完成一件事需要几“个”步骤，步与步环环相扣，缺一不可。总方法 = 步骤1 × 步骤2 × ...

（二）两大优先原则：特殊元素与特殊位置

当题目中含有特殊元素或特殊位置时，应优先处理这些特殊情况，这叫“特殊优先法”。

• 元素优先：某些元素有特殊要求，如“甲必须在排头”、“乙不能站中间”。先安排这些特殊元素。
• 位置优先：某些位置有特殊要求，如“排头必须是男生”、“末位不能是数字0”。先满足这些特殊位置。

（三）三大经典模型：相邻、不相邻与定序

1. 相邻问题 → 捆绑法

• 题眼：要求某些元素必须“相邻”、“在一起”。
• 策略：“先捆绑，再整体排列，最后内部排列”。将相邻的元素“捆绑”成一个大元素，与其他元素一起排列，然后再考虑“捆绑”元素内部的排列顺序。

2. 不相邻问题 → 插空法

• 题眼：要求某些元素“不相邻”、“不排在一起”。
• 策略：“先排其他元素，再将不相邻的元素插入到空位中”。先将没有限制的元素排好，它们之间会形成若干“空位”（包括两端），再将要求不相邻的元素插入这些空位中。

3. 定序问题 → 缩倍法/等概率法

• 题眼：要求某些元素保持固定的“相对顺序”（如甲必须在乙的左边）。
• 策略：先将所有元素进行全排列，然后除以定序元素的全排列数。因为在所有排列中，定序的几个元素之间的各种相对顺序是等概率出现的。
• 公式：$n$ 个元素排列，其中 $k$ 个元素顺序固定，方法数为 $\frac{n!}{k!}$。

（四）相同元素的分配问题 → 插板法

• 题眼：将 $n$ 个相同的物品，分给 $m$ 个不同的人/组。
• 1. 每组至少一个（标准插板法）
  • 策略：将n个元素看成一排，它们之间形成了 $n-1$ 个空隙。要分成m组，只需要在这 $n-1$ 个空隙中插入 $m-1$ 个“隔板”即可。
  • 公式：$C_{n-1}^{m-1}$。
• 2. 允许有组为空（添板法/借元法）
  • 策略：先想象给每个组“借”一个物品，保证它们都非空。问题转化为“将 $n+m$ 个物品分给 $m$ 个组，每组至少一个”。
  • 公式：$C_{n+m-1}^{m-1}$。

（五）高频考点模型

• 错位排列：n个元素的全排列，要求每个元素都不在自己原来的位置上。
  • 公式：$D_1=0, D_2=1, D_3=2, D_4=9, D_5=44, D_6=265$。（常考到D5，建议记忆）
  • 递推：$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$
• 圆周排列：n个元素围成一圈的排列。
  • 策略：与直线排列不同，圆周排列没有首尾之分，需要固定一个元素作为参照。
  • 公式：$\frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$。
• 分组问题
  • 非均等分组：如9本书分成2、3、4三堆，方法数为 $C_9^2 C_7^3 C_4^4$。
  • 均等分组：如6本书均分成3堆（每堆2本），方法数为 $\frac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3}$。需要除以组数的阶乘 $A_m^m$ 来消除组与组之间的顺序。
• 比赛问题
  • 单循环赛：每两队之间比赛一场，$n$ 支队共比赛 $C_n^2$ 场。
  • 淘汰赛：$n$ 支队决出冠军，共需比赛 $n-1$ 场。

（六）兜底策略：正难则反

• 逆向计数法：当正面情况分类复杂、计算繁琐时，可以尝试计算其对立面（反面）的情况数，再用总情况数减去反面情况数。尤其适用于“至少...”或“至多...”的题型。

三、真题讲解

捆绑法与插空法

例1：【捆绑法】 四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序?

• A. 24
• B. 96
• C. 384
• D. 40320

例2：【插空法】 3名医生和6名护士排成一排，要求3名医生互不相邻，问有多少种排法？

• A. 30240
• B. 151200
• C. 1200
• D. 720

插板法

例3：【插板法】 将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？

• A. 14
• B. 18
• C. 20
• D. 22

错位排列

例4：【错位排列】 四位厨师聚餐时各做一道拿手菜。现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己的那道。问共有几种不同尝法？

• A. 6
• B. 9
• C. 12
• D. 15

圆周排列

例5：【圆周排列与捆绑法】 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少?

• A. 在1‰到5‰之间
• B. 在5‰到1％之间
• C. 超过1％
• D. 不超过1‰

综合应用

例6：【逆向计数法】 某班有50名学生，其中20名男生，30名女生。从中选出3名学生，要求至少有1名男生，有多少种选法？

• A. 4060
• B. 15540
• C. 19600
• D. 12400

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