比例法

1、实质

相对关系（数学核心思想）

2、关键

乘除等式，三个量中必一个固定，两个相对关系

找出两种相关联的量并明确比例关系，固定的乘除等式关系，三个量中必须有一个量是固定的，另外两个量是相对关系。

2.1 反比例

若 $a \times b = k$（$k$ = 常数）

1. 当 $k$ 固定时，$a$ 和 $b$ 成反比
2. 当 $a$ 固定时，$k$ 和 $b$ 成正比；当 $b$ 固定时，$k$ 和 $a$ 成正比

2.2 正比例

若 $a \div b = k$（$k$ = 常数），则 $a$ 和 $b$ 成正比

特别注意：三个量中必须有一个量是固定的，这样另外两个量才会有相对关系。

实际应用：

• 路程 = 速度 × 时间
• 总量 = 效率 × 时间
• 溶剂 = 溶液 × 浓度
• 利润 = 成本 × 利润率

3、整体比例

$a_1 \times b_1 = k_1$ 和 $a_2 \times b_2 = k_2$

1. 当 $k_1 = k_2$ 时，相当于 $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$，此时 $a_1 : a_2 = b_2 : b_1$，为反比关系
2. 当 $a_1 = a_2$ 时，$k_1 : k_2 = b_1 : b_2$
3. 当 $b_1 = b_2$ 时，$k_1 : k_2 = a_1 : a_2$

4、工程问题

工程问题、行程问题、排列组合并称为公考数量关系三大问题。

4.1 两大利器

1. 比例法
2. 特值法：假设工程量为1

假设工程量为1，工作总量作为解题突破口，1可以是1，也可以是某一值，最小公倍数。

4.2 核心要点

方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数。

1. 本质：研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系问题。
2. 常用数量关系式：
   • 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
   • 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
   • 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率

4.3 工程问题题型

1. 单人完成工程问题
2. 全程合作问题
3. 分阶段工程问题
4. 轮流合作型
5. 水管问题
6. 时间效率比例转化

5 差值比例

** $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ **

表达形式一般为 a:b=c:d (分数表达式为 a/b=c/d)

两边同时减去 1，得 $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

这里的 $(a-b)$ 和 $(c-d)$ 就是差值比例法的基本表达形式。

6 三量比例

** 甲:乙=2:3，乙:丙=4:5, 甲:乙:丙=8:12:15 **

遇到三个量，通过某一个量进行统一，建立比例关系。

1. 甲: 乙=2: 3
2. 乙: 丙=4: 5

那么甲: 乙: 丙=8: 12: 15 (1.扩大 4 倍，2.扩大 3 倍)

建立甲乙丙的比例，两次比例都有乙，通过乙进行"搭桥"统一成 12 (3，4 最小公倍数)。

题目
某企业为全体员工定制工作服，请服装公司的裁缝量 体裁衣。裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好 量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量。若男员工与女员工的人 数比为11：7，则该企业共有（ ）名员工。

• A.720
• C.900
• B.810
• D.1080

解析

7 恒值问题

7.1 恒值问题

恒值问题是比例法中的一个重要概念。它涉及到在不同情况下，某个量保持不变，而其他量发生变化的情况。

7.2 核心思想

1. 恒量对象在不同情况下代表的比例点不同
2. 将不同比例点化为相同数值来处理
3. 通常有一个量恒定不变（如单个对象、和不变、差不变）

例如：在"年龄问题"中，年龄差通常是不变的

7.3 恒值比例法

在研究比例问题时，如果有一个量从头到尾都没有发生变化，我们可以利用这个对象所代表的比例点来求解。

关键步骤：

1. 识别恒定不变的量
2. 将不同情况下的比例点统一为相同数值
3. 分析其他量的变化

重要提示：牢牢抓住不变量，统一它，然后观察其他量的变化！

解题技巧

利用公倍数等原理，统一恒值的份数，再求其他量。

通过调整份数，可以使不同情况下的恒值在数值上保持一致，从而简化问题的分析和计算。

7.4 溶液混合问题

溶液和始终不变

题目
一个瓶中酒精与水的体积比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体 积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多 少？

• A.31：9
• C.31：40
• B.7：2
• D.20：11

解析

7.5 降价问题

降价前后价格差不变

题目
甲乙两种商品的价格比是3：5，如果他们的价格 分别下降50元，它们的价格比是4：7，这两种商品原来的价格各为( )

• A.300 元 500元
• C.450 元 750元
• B.375 元 625元
• D.525 元 875元

解析

7.6 三量比例法

甲:乙=2:3，乙:丙=4:5, 甲:乙:丙=8:12:15

遇到三个量，通过某一个量进行统一，建立比例关系。

1. 甲: 乙 = 2: 3
2. 乙: 丙 = 4: 5

那么甲: 乙: 丙 = 8: 12: 15 (1.扩大 4 倍，2.扩大 3 倍)

建立甲乙丙的比例，两次比例都有乙，通过乙进行"搭桥"统一成 12 (3，4 最小公倍数)。

题目
一项工程有甲，乙，丙三个工程队共同完成需要22天，甲 队工作效率是乙队的二分之三倍，乙队3天的工作量是丙队2天工作量的三 分之二，三队同时开工，2天后，丙队被调往另一工地，那么甲乙再干多少天 才能完成该工程?

• A.20
• C.38
• B.28
• D.42

解析

题目
千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第 一次加入适量的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同 样多的金属铁后，金属锡的含量占总重3%，如果第三次再加入同样多的金属 铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比是（ ）

• A.2.5%
• C.2.7%
• B.2.4%
• D.2.8%

解析

题目
股民甲和乙分别持有同-一家公司的股票。如果乙将自己 的10000股转给甲，则此时甲持有该股票的份额是乙的3倍；如果甲将自己 的1000股转给乙，则此时乙持有该股票的份额比甲多6倍。那么，甲乙二人 共持有( )股该公司股票。

• A.6400
• C.17800
• B.17600
• D.28800

解析

7.7 和、差比例法

先求出份数和、份数差，再求其他

题目
某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5 为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600 吨。问该公司镍的产量为多少吨?

• A.800
• C.1000
• B.600
• D.1200

解析

题目
某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9 折出售，同样的预算可以比平时多买10台电脑。问该公司的预算在平时能多 买多少台电脑？

• A.60
• C.80
• B.70
• D.90

解析

7.7.1 速度份数差，求出路程

题目
甲乙两辆清洁车执行东西两城的公路清洁任务，甲车 单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东西两城相向开 出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，东西两城相距多少千米?

• A.60
• C.90
• B.75
• D.135

解析

7.7.2 时间份数和，求出路程

题目
一人从甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑 车速度比公交慢50%，如果一个人坐公车从甲地到乙地，再从乙地步行回到甲 地一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间?

解析

题目
某项工程计划300天完成，开工100天后，由于人员 减少，工作效率下降了20%，完成该工程比原计划推迟多少天？

解析

题目
一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可 将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。现用甲、乙两台抽水机同时抽 水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。问在渗水的情况下，用乙抽 水机单独抽，需几小时抽完？

解析