第三节 方阵问题

方阵的定义

方阵是指行数和列数相等的矩阵，形成一个正方形的排列。在行测数量关系题目中，方阵问题是一个常见且重要的考点。

一、等差数列思维（核心/万能思维）

等差数列思维是解决方阵问题的核心方法，也是在没有其他思路时的万能方法。

（一）方阵层级的等差性质

1. 将方阵的每一层看作等差数列的一项
2. 每一层的边长之差为2
3. 每一层的周长之差为8（即公差）

（二）方阵层级的重要公式

1. 每层每边人数关系：

   • 每向内一层，每边人数减少2
   • 每向内一层，每层总数减少8

2. 每层总数计算公式： $每层总数 = (每边人数 - 1) \times 4 = 每边人数 \times 4 - 4$

   解释：为什么要减4？因为四个角上的四人被相邻的两边重复计算了一次。

3. 每边人数计算公式： $每边人数 = \frac{每层总数}{4} + 1$

4. 实心方阵总人数： 若每边人数为n，则 $总人数 = 每边人数^2 = n^2$

5. 空心方阵总数： $总数 = (最外层边长 - 层数) \times 层数 \times 4$ 或者：$总数 = 实心方阵总数 - 空掉的内部总数$

（三）方阵的增减变化

6. 取消m行、n列的方阵，减少人数： $减少人数 = 边长 \times (m + n) - mn$

7. 增加m行、n列的方阵，增加人数： $增加人数 = 边长 \times (m + n) + mn$

二、两大辅助思维

（一）重叠点思维

在计算方阵边缘点数时，需要注意重叠点的问题。如果有边与边的重叠情况，各边点相加时重叠点会被计算两次，因此需要减去重叠点个数才是实际的总数。

例：计算3×3方阵外围点的数量

• 错误计算：3 + 3 + 3 + 3 = 12
• 正确计算：3 + 3 + 3 + 3 - 4（四个角点） = 8

（二）逆向法思维

当需要计算某种形状的外层数目时，可以使用整体数目减去内部数目的方法。

例：计算5×5方阵的外圈数量

• 整体数量：5 × 5 = 25
• 内部数量：3 × 3 = 9
• 外圈数量：25 - 9 = 16

主要考点

1. 层与边的换算
2. 方阵本质上是等差数列
3. 方阵总数的计算
4. 减少/增加n行n列后的变化

例题

例1： 某校计算机学院学生组成的正方形实心方阵参加学校体育 节开幕式，能组成的最大方阵最外层人数为48人。问该学院的学生人数在以 下哪个范围内?

• A.144 到155 之间
• C.169 到195 之间
• B.156 到168 之间
• D.大于195

例2：

有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共60人，中阅一 层共44 人．则该方阵士兵总数是?

• A.296
• C.324
• B.220
• D.348