不定方程（组）

解析：不定方程。设大、小包装盒各有x、y个，12x＋5y=99。 方法1：尾数法。
5y 尾数为0或5，则12x尾数为9或4，9不符合，只有4，x为2或7， x=2，y=15，符合；x=7，y=3，相加≠10多个，不符合。因此x=2，y=15，相 差13，D。
方法2：奇偶特性
12x 为偶数、99为奇数，故5y为奇数，则尾数为5。12x尾数为9 5=4，得x=2或x=7。代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时 15－2=13；当x=7时，y=3，不符合共十多个盒子（刚好十个）。故两种包装 盒相差13个。D。
方法3：因子倍数。
12x、99 都为3的倍数，则5y也为3的倍数，y为3的倍数。

解析：解法1：不定方程，倍数法。 132 和11a为11的倍数，故7b也为11的倍数，b为11的倍数。又因 a，b均为正整数，则，。则只能b=11，解得a=5。D。
解法2：代入排除。代入11a＋7b=132，得b为正整数。只有a=5时，b 为整数11，符合。

(1) 整除特性+因子倍数。
假设月份a，日期b，29a+24b=900，24b能被3和4整除，900也能被3 和4整除，故29a也能被3和4整除，也即是12的倍数。
(2)29 不能12整除，则a是12的倍数，a只能12，第四季度。D。

全价为2000，九折为1800，五折为1000，设分别买x，y，z张：x＋y＋ z=20，2000x＋1800y＋1000z＋170×20=27000。 求x与y的关系，应消z，得5x＋4y=18。x必然为偶数，当x=2时，得 y=2，即两者一样多。A。

解析：代入排除法

设一、二、三等奖的职工人数分别为 $x$、$y$、$z$， $\begin{cases} 5x + 3y + 2z = 25 \quad \text{①} \\ 6x + 3y + z = 25 \quad \text{②} \end{cases}$ 将 $\text{②} \times 2$。

从 ① 得： $7x + 3y = 25$ 代入 A 选项，$y = 6$，解得 $x = 1$，$z = 1$，符合。 A.

解析： 解法1：不定方程 设 300 元、500 元、2000 元捐款人数分别为 $x$、$y$、$z$， $x + y + z = 100$ $300x + 500y + 2000z = 36000$ 消 $x$，得： $2y + 17z = 60$ 【$x$ 前的系数最小，消它好算】 奇偶特性 60 与 $2y$ 均为偶数，则 $17z$ 为偶数，$z$ 为偶数。当 $z = 2$ 时，得 $y = 13$，符合；当 $z \geq 4$ 的偶数时，解得 $y$ 为负，不满足。故捐款 500 元的员工数是 13 人。C.

解法2：倍数法 $2y$ 和 $60$ 都是 $2$ 的倍数，则 $17z$ 是 $2$ 的倍数，$z$ 是 $2$ 的倍数。$17z < 60$，$z = 2$，$y = 13$。

解析：

解法 1：赋 0 法 因 $x + y + z$ 为一个确定值，且有无数种情况，因此赋 0 好求解。

$\begin{cases} 3x + y + 2z = 35 \\ 5x + y + 3z = 52 \end{cases}$ 赋 $x = 0$，解得 $z = 17$，$y = 1$，则 $x + y + z = 18$（元）。D.

解法 2：不定方程 设钢笔价格单位为 $x$、笔记本 $y$、墨水 $z$，钱不宜用整数除法，可以有小数。

$\begin{cases} 3x + y + 2z = 35 \quad \text{①} \\ 5x + y + 3z = 52 \quad \text{②} \end{cases}$ 将 $\text{①} \times 2 - \text{②}$，得： $x + y + z = 18 \ \text{（元）}.$

解析：

解法 1：赋 0 法，假设法 设签字笔、圆珠笔、铅笔单价分别为 $x$、$y$、$z$ 元， $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$ 由于 $y$ 的系数最大，可赋 $y = 0$，代入 $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①}$ 和 $4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$，解得 $x = 11$，$z = -1$。

故三种笔各买一支共： $11 + 0 + (-1) = 10 \ \text{（元）}.$ C.

（拓展：因为没有限定 $a, b, c$ 特性，所以其实有无数种解，可以任意假设一个值，赋 0 可，假设其他值也可，比如 $a = 3$，再相应求出 $b$ 和 $c$。赋 0 时，赋 $x$ 或 $z = 0$ 也一样。）

解法 2：配系数法 $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$ $\text{①} \times 3 - \text{②} \times 2$，得： $x + y + z = 10$ C.