数字特性法

1. 奇偶特性

1.1 定义

奇数不能被2整除的整数。
偶数能被2整除的整数（0是偶数）

1.2 性质

同奇同偶加减得偶：
- 奇数 ± 奇数 = 偶数
- 偶数 ± 偶数 = 偶数
同奇同偶相乘奇偶不变：
- 奇数 × 奇数 = 奇数
- 偶数 × 偶数 = 偶数
奇偶加减得奇，相乘得偶：
- 奇数 ± 偶数 = 奇数
- 奇数 × 偶数 = 偶数
两数和差奇偶同性/和差同性（同奇同偶）：
- 任意两个数的和如果是奇数（偶数），那么差也是奇数（偶数）
- 任意两个数的差如果是奇数（偶数），那么和也是奇数（偶数）
多个奇数相加的奇偶性：
- 偶数个奇数相加和为偶数
- 奇数个奇数相加和为奇数
- 很多数相加，有奇有偶，结果的奇偶性取决于其中奇数个数的奇偶性
- 很多数相乘结果为奇数，则所有数都为奇数
- 很多数相乘结果为偶数，只需要其中一个数为偶数即可
任意自然数与偶数相乘，其结果必为偶数
连续自然数的性质：
- 两个连续自然数之和（或差）必为奇数
- 两个连续自然数之积必为偶数
乘方后，奇偶性不变：
- 如：a为奇数（偶数），则a^n（n为正整数）为奇数（偶数）
2 是唯一一个为偶数的质数。 (1) 如果两个质数的和(或差)是奇数，那么其中必有一个数是2;
(2) 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个数是2。

1.3 奇偶性应用

1.3.1 知和求差、知差求和：奇偶和差同性

奇偶和差同性是一个重要的数学性质，它指出任意两个数的和与差具有相同的奇偶性。这个性质在解决某些数学问题时非常有用，特别是在需要推断数字奇偶性的情况下。

定理： 对于任意两个整数 a 和 b：

如果 a + b 是奇数，那么 |a - b| 也是奇数
如果 a + b 是偶数，那么 |a - b| 也是偶数

证明：

设 a = 2m + r, b = 2n + s，其中 m 和 n 是整数，r 和 s 是 0 或 1
和：(2m + r) + (2n + s) = 2(m + n) + (r + s)
差：|(2m + r) - (2n + s)| = |2(m - n) + (r - s)|

观察可知，和的奇偶性取决于 (r + s)，差的奇偶性取决于 |r - s|

当 r = s 时，和为偶数，差为偶数
当 r ≠ s 时，和为奇数，差为奇数

因此，和与差的奇偶性总是相同的。

应用：

知和求差：如果知道两数之和的奇偶性，可以直接推断出它们之差的奇偶性
知差求和：如果知道两数之差的奇偶性，可以直接推断出它们之和的奇偶性

例题： 已知 a + b = 101，求 |a - b| 的奇偶性。

解析：

a + b = 101（奇数）
根据奇偶和差同性，|a - b| 也必定是奇数

例题： 一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说："您应该付39元才对。"请问书比杂志贵多少钱？

A. 20
C. 23
B. 21
D. 24

解析：

解法1：代入排除，和差奇偶同性。设书、杂志价格分别为x、y。（1）x＋y=39为奇数，则x－y为奇数，排除AD。（2）代入B，x＋y=39；x－y=21，得x=30，y=9，书价格看反后与杂志和为3＋9=12，非21，排除。C

解法2☆：不定方程。根据等式和不等式范围，判断数值。设书价格10a＋b（a＞0，b＞0），则看反为10b＋a，准备付 21、应付 39 可知，看反前后价格相差39－21=18，得10a＋b－（10b＋a）=18，即a b=2。由10a＋b＜39，可知a=3，b=1，则书31元，杂志39－31=8。书比杂志贵31－8=23元，C。

例题： 四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131 人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？

A. 177
C. 264
B. 178
D. 265

解析：

解法1：代入排除法，和差奇偶同性。（1）乙、丙总人数比甲、丁总人数少1人，则"乙、丙+甲、丁"也为奇数，排除B和C。（2）4个班总人数 < 131＋134=265，排除D。

因此，答案为A。

解法2：方程法

设立方程组：

\begin{cases} \text{乙} + \text{丙} + \text{丁} = 131 \\ \text{甲} + \text{乙} + \text{丙} = 134 \end{cases}

相加得：

$2(\text{乙} + \text{丙}) + (\text{甲} + \text{丁}) = 265 \quad (1)$

乙丙比甲丁少1人，得：

$(\text{甲} + \text{丁}) - (\text{乙} + \text{丙}) = 1 \quad (2)$

根据(1)和(2)解得：

\begin{aligned} \text{甲} + \text{丁} &= 89 \\ \text{乙} + \text{丙} &= 88 \end{aligned}

故四个班共有 89 + 88 = 177 人。

答案：A

1.3.2 鸡兔同笼

例题： 一试卷有50道判断题，规定每做对一题得3分，不做或做错一题扣1分。某学生共得分82分，问做对的题与不做或做错的题相差几道题？

A. 15 题
B. 16 题
C. 17 题
D. 18 题

解析：

解法1：代入排除法，奇偶和差同性。设做对 $a$ ，不做或做错为 $b$ 。（1） $a + b = 50$ （偶数），则 $a - b$ 也为偶数，排除 A 和 C。（2）代入 B， $a - b = 16$ ， $a + b = 50$ ，则 $a = 33$ ， $b = 17$ 得分： $33 \times 3 - 1 \times 17 = 82$ ，符合，选 B。

解法2：鸡兔同笼

若 50 题全对得 $50 \times 3 = 150$ 分
实际得 82 分，则少得 $150 - 82 = 68$ 分
错或不做一题少得 $3 - (-1) = 4$ 分
则错或不做 $68 \div 4 = 17$ 道
做对 $50 - 17 = 33$ 道
相差 $33 - 17 = 16$ 道

解法3：方程法

设做对 $x$ ，不做或错 $y$ 。

\begin{cases} x + y = 50 \quad (1) \\ 3x - y = 82 \quad (2) \end{cases}

解得 $x = 33$ ， $y = 17$ ，相差 $33 - 17 = 16$ 。

答案：B

1.3.3 二倍类

例题： 母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减10岁就是儿子的年龄，再过3年母亲的年龄就是儿子年龄的2倍，则母亲现在的年龄是：

A. 53
C. 43
B. 52
D. 42

解析：

年龄问题，代入排除，奇偶性。（1）母亲3年后是儿子的2倍，则母亲现在年龄一定为奇数，排除BD。（2）代入A，若母亲现在53岁，则儿子35－10=25，3年后母亲53＋ 3=56，儿子25＋3=28岁，母亲年龄恰好是儿子年龄的2倍，满足。A。

1.3.4 平均分

例题： 小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？

A. 94
C. 96
B. 95
D. 97

解析：

统筹推断问题，方法1：代入排除法，奇偶性。字眼"平均分" （1）外语=（语文+物理）÷2，语文是偶数，所以物理也是偶数，排除 BD；（2）代入A，物理94，则外语和语文都94，化学96，数学92，和数学最高矛盾，C。方法2：（1）数学最高、化学第二，则物理、外语和语文名次为3—5，外语等于语文和物理的平均分，则外语居3—5中间，第四，物理是五门平均分，物理只能第三，则语文第五。（2）化学比外语多2分，即第二比第四多2分，那么第二化学比第三物理只能高1分，物理比外语高1分，高低排序：数、化、物、外、语。（3）外语等于语文和物理平均分，则外语比语文高1分，语文94，则外语95，物理96。

例题： 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A. 36
C. 39
B. 37
D. 41

解析：

5a+6b=76，76和6b都是偶数，所以5a也是偶数，a只能为2， b=11，剩下学员4×2+3×11=41

1.3.5 aX+bY=c类不定方程

例题： 每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵，去B地每人往返车费30 元，人均植树3棵，设到A地员工有x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15，若往返车费总和不超过3000元，那么，最多可植树多少棵？

A. 489
C. 498
B. 400
D. 500

解析：

方法1：代入排除，奇偶性。棵数y=8x－15，y一定为奇数。只有A。方法2：整除特性。y=8x－15，选项+15一定能被8整除，只有A。方法3：方程法和不等式。植树最多，则费用最高。总植树y=8x－15，A植树5x，B植树（8x 15）－5x=3x－15，B人数。总费用20x＋30（x－5）≤3000，解得x≤63。当x=63时，最多可植树 y=8×63－15=489 棵。A。

2. 质数合数

2.1 定义

质数（素数） 一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除 (质数也称素数)，如2、3、5、7、11、13.....
合数一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他正整数整除，如4、6、8、9、10
性质
- 1既不是质数也不是合数
- 2是唯一为偶数的质数

例题： 已知3个质数的倒数和为671/1022，则这3个质数的和为（）

A.80
B.82
C.84
D.86

解析：

倍数特性。1/abc=(ab+bc+ac)/abc=671/1022，三个质数相乘得偶数，说明有质数a=2，剩下两个质数乘积为1022/2=511，不是3和5的倍数，是7的倍数，所以bc为7和73，这三个质数为2，7，73。B。

3. 尾数特性

平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9。这个规律可以通过观察各个个位数的平方得出： 0² = 0 (尾数为 0) 1² = 1 (尾数为 1) 2² = 4 (尾数为 4) 3² = 9 (尾数为 9) 4² = 16 (尾数为 6) 5² = 25 (尾数为 5) 6² = 36 (尾数为 6) 7² = 49 (尾数为 9) 8² = 64 (尾数为 4) 9² = 81 (尾数为 1) 10² = 100 (尾数为 0) 11² = 121 (尾数为 1)

4. 整除特性

4.1 整除及其余数判定法则

被2或5整除：末一位数字能被 2(或 5)整除
- 当且仅当末一位数字能被 2(或 5)整除
- 一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数
被4或25整除：末两位数字能被 4(或 25)整除
- 当且仅当末两位数字能被 4(或 25)整除
- 一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数
①被25整除，末两位00，25，50，75（推理：0.25=1/4.，0.75=3/4）。

②判断一个数能否被25整除： C=254A+b，若 b 是25的倍数，该数就是25的倍数。任何一个正整数都具有100A+b的形式，其中A是自然数、b是两位的自然数，254A是25的倍数。

③速算拓展应用：23÷25=？分子25转换成100，分子分母各×4，变成92/100=0.92
被8或125整除：末三位数字能被 8(或125)整除
- 当且仅当末三位数字能被 8(或125)整除
- 一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数
例：96624， 96| 624， 624/8=78说明这个数能被8整除

①被125整除，末三位为000、125、250、375、500、625、750、875，其中0.125=1/8，0.375=3/8，0.625=5/8，0.875=7/8，
3，9 整除判定基本法则
被3或9整除：各个数位上的数字之和能被3（或9）整除

各个数位上的数字之和能被3（或9）整除。判断一个数abc能否被3（或9）整除： abc=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c），看 a+b+c 能否被 3（或9）整除即可。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
如：377，3+7+7=17，17除3余2，说明377除3余2。 23568，2+3+5+6+8=24， 24 /9=2 余6，说明这个数不能被9整除，余数是6。

例题： 一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？

A. 17
B. 16
C. 15
D. 14

解析：

解法1：数字特性，整除

求几个数字和，联想被3和9整除。
四位数能被15除尽，可知这个四位数能被3整除，则四个数字的和也能被3整除，只有C符合。

解法2：方程法 + 最小公倍数

15、12和10的最小公倍数是60，设这个四位数为60x。
被三个数除尽时所得三个商的和为1365，可得方程：

$\frac{60x}{15} + \frac{60x}{12} + \frac{60x}{10} = 1365$
化简得：

$4x + 5x + 6x = 1365$ $15x = 1365$
解得 $x = 91$ ，所以这个四位数是：

$60x = 60 \times 91 = 5460$
四个数字的和为：

$5 + 4 + 6 + 0 = 15$

因此，答案为 C。

7，11，13整除判定基本法则

1. 被7整除

末三位与剩下数之差（大-小）能被7整除
方法1：个位数2倍与剩下数之差（剩余数-个位数×2）÷7，能否被7整除
- 例：483，48-3×2=42，能被7整除
方法2：末三位与剩下数之差（大-小）能否被7整除
- 例：278208，278-208=70，能被7整除

2. 被11整除

末三位与剩下数之差（大-小）能被11整除
方法1：奇数位之和-偶数位之和，能被11整除
- 例：8956257
  - 奇数位和：8+5+2+7=22
  - 偶数位和：9+6+5=20
  - 22-20=2，2/11余2，则8956257不能被11整除，余数是2
方法2：末三位与剩下数之差（大-小）能否被11整除

3. 被13整除

末三位与剩下数之差（大-小）能被13整除
例：1274，274-1=273，能整除13

拓展

合数因数分解后，能同时被各互质因数整除，如28和4、7
- 质合性、被合数整除：将合数因数分解后，能同时被各互质因数整除，如被28整除需同时被4和7整除。
三个连续自然数中
- （1）至少有1个是偶数，
- （2）必有3的倍数【（3k，3k+1，3k+2，其中一定有一个是3的倍数）】。
- （3）三个连续的自然数之和（积）能被3整除。3个连续自然数之和能被3整除【a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1）】。
- （4）3个连续自然数之积能被6整除，因为一定同时有3因子和2因子。
四个连续的自然数之和是偶数，但不能被4整除
- a+a+1+a+2+a+3=4a+6

应用

题目出现 2、4、8、3、9 等的倍数
题目出现倍数、分数、百分数、比例、分组等字眼。
题目中出现“各个数位之和

例题： 一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？

A. 900
C. 1100
B. 800
D. 1000

解析：

解法1：整除特性。共走了18小时，总距离应是18的倍数，排除BCD。 A。解法2：行程问题，方程法。设第一天平均速度为v，第三天比第一天少行驶200公里，可知第三天路程为5v－200，三天总路程5v＋600＋5v－200=18v，解v=50，则三天共行驶 18×50=900 公里。A。

5. 倍数特性

5.1 因子倍数

5.1.1 列方程换算成一个未知数看倍数关系

例题： 甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:

A.20
C.23
B.21
D.25

解析：

方法1：换算成一个未知数看倍数关系方程求出两队比例关系（倍数特性+比例份数法）设甲队有x人，乙队y人，92（x+y）=88x+94y，得：2x=y。则甲乙两队人数之和=x+y=x+2x=3x，总人数为3的倍数，只有B符合。

方法2☆：题干 “平均分”，为平均数问题。线段法/十字相乘法线段法求出两队比例关系（比例份数法）☆ 距离与量成反比，甲乙平均分距离比，则甲乙人数比1： 2，总人数为3的倍数，只有B符合。

方法3☆：鸡兔同笼。鸡兔同笼求出两队比例关系（比例份数法），正负相消。甲平均分88拉低总平均分4分，乙提高平均分2分，则甲队1人平均分需要乙队2人来抵消，甲N人需乙2N人，则一共3N人，为3的倍数。B。

例题： 某企业20多名员工参加拓展训练，共准备了16箱饮用水。每人饮用6瓶后，将剩下的1箱半分配给所有女员工，正好每人分1 瓶。问参加拓展训练的男员工有多少人？

A. 10
C. 12
B. 11
D. 13

解析：

不定方程。方程法+数字特性设每箱水2x瓶，一箱半水3x瓶，则女员工3x人。设男员工有y人，（y＋3x）×6=（16－1.5）×2x，解得y= 。y是 11 的倍数，即男生人数是11的倍数，只有B满足。

例题： 某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为 14 元/瓶，和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？

A．3
C．10
B．8
D．15

解析：

方法1：最小公倍数。 200 毫升一箱定价20x14=280，500毫升一箱12x25=300。价格一定，两种规格销售收入相同，要求箱数最少，则收入也最少，为每箱单价的最小公倍数， 280和300最小公倍数20×14×15。此时，200毫升箱数最少，为 20×14×15÷280=15 箱。D。方法2：倍数特性。 200 毫升a箱，500毫升b箱，a、b为整数，两种规格总价分别为 20x14=280、12x25=300，总收入280a=300b，14a=15b，a 是 15 的倍数，D。

5.2 比例倍数

适用：倍数，百分数，分数，比例

5.2.1 两数分别为a的倍数，相加的和也为a的倍数

例题： 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144 元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：

A. 144
C. 128
B. 136
D. 142

解析：

解法1：两数分别为6的倍数，相加的和也为6的倍数。订购了120套，知订购量为6的倍数；每降低2元就多订6套，增加量也是6的倍数，故总数是6的倍数，A。

解法2：方程列式，看倍数特性。

设降价2x元，多订购6x套，每套利润(200 - 2x - 144)元，数量(120 + 6x)套
总利润 = (56 - 2x) × (120 + 6x)
套数最多，即120 + 6x最大，只有A符合该式子。

解法3：函数极值函数式 $y = ax^2 + bx + c$ ，当 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取到极值。

总利润 = (56 - 2x) × (120 + 6x) = -12(x^2 - 8x - 560)
当 $x = -\frac{-8}{2(-1)} = 4$ 时，总利润最大
此时销量 120 + 6 × 4 = 144套

因此，答案为A。

5.2.2 百分数

例题： 某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？

A. 329
C. 371
B. 350
D. 504

解析：

解法1：倍数特性

减少6%，今年男员工人数是去年的94% = $\frac{47}{50}$ ，即今男 = $\frac{47}{50}$ × 去男，则今年男员工人数是47的倍数，秒杀A。

解法2：方程法

设去年男、女员工各有x、y人，可得 $x + y = 830$ ①
员工总数比去年增加3人，可得 $5\%y - 6\%x = 3$ ②
联立①②，得 $x = 350$
故今年男员工有 $350 × (1 - 6\%) = 329$ (人)

因此，答案为A。

方法3：选项相关法

题干出现两个量，选项相关思维，去年830人，则今年833人。
A与D为相关选项，相加刚好为833，可能为今年男女员工人数。
再分析男女大小，男员工减少6%，女员工增加5%，结果总人数还增加，说明女员工基期比重大，男员工少，因此男员工为A. 329人。

例题： 公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：

A. 140 万元
C. 98 万元
B. 144 万元
D. 112 万元

解析：

解法1：代入排除法，倍数特性。思路1.甲是乙和丙1.5倍，甲∶（乙＋丙）=3∶2，甲是3的倍数，仅B 思路2.甲和乙是丙的5倍，乙56，甲＋56=5丙，甲+56为5的倍数，B 解法2：方程。甲=1.5×（56＋丙）；甲＋56=5丙，甲144，丙40。B

例题： 某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？

A. 16
C. 24
B. 20
D. 28

解析：

解法1：数字特性法，倍数特性

设第一次分 $x$ 组，第二次分 $y$ 组。

党员人数为 $(5y + 2)$ 名
积极分子人数为 $2y$ 名
两者差值 = $3y + 2$

$(差值 - 2)$ 是 3 的倍数，只有 B 符合。

解法2：方程法

设第一次分 $x$ 组，第二次分 $y$ 组。

党员人数： $7x + 4 = 5y + 2$ ①
积极分子： $3x = 2y$ ②

解得 $x = 4$ ， $y = 6$ 。

党员比积极分子多： $(7 \times 4 + 4) - (3 \times 4) = 20$ 人

因此，答案为 B。

例题： 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7 男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为

A. 446
C. 508
B. 488
D. 576 解析：

解法一：倍数特性。 B. 488 D. 576 按7男5女搭配剩8人，可知总人数减8能被12整除，只有B符合。补充：12的倍数也一定是3或4的倍数。A-12=438，末两位不能被4整

除。解法2：方程法。设两次分别分了x、y组，根据两次分组，男生人数7x＋8=9y；同理，女生人数5x=5y＋40，得x=40，y=32。总人数9×32＋5×40=488人。

例题： 一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（）名。

A. 36
C. 48
B. 40
D. 72 解析：

解析：

解法 1：倍数特性。

剩余女员工占比为 $\frac{5}{9}$ ，得

\frac{女-4}{总-4} = \frac{5}{9}

即总人数减少4能被9整除，只有B符合。

解法 2：方程法。

设原来女员工 $x$ 人，总人数 $y$ 人，则原来男员工 $(y - x)$ 人。由剩余女员工占 $\frac{5}{9}$ ，有

\frac{x - 4}{y - 4} = \frac{5}{9}

由剩余男员工占 $\frac{1}{3}$ ，有

\frac{(y - x) - 4}{y - 4} = \frac{1}{3}

解得 $y = 40$ 。因此答案为 B。

5.2.3 比例倍数

若 $a : b = m : n$

若 $a : b = m : n$ ，则

\frac{a}{b} = \frac{m}{n} \quad \text{或} \quad a = \frac{m}{n} b \quad (m, n \text{互质，} m : n \text{不能继续约分}),

则：

$a$ 是 $m$ 的倍数
$b$ 是 $n$ 的倍数
$a + b$ 是 $m + n$ 的倍数
$a - b$ 是 $m - n$ 的倍数

公式为：

\frac{a}{a + b} = \frac{m}{m + n}

例如

\frac{男}{女} = \frac{7}{4}

则：

男生一定是7的倍数，男生人数是总人数的 $\frac{7}{11}$
女生一定是4的倍数，女生人数是总人数的 $\frac{4}{11}$
总人数是11的倍数，男生人数 + 女生人数 = 总人数的 $\frac{7}{11} + \frac{4}{11} = 1$
男女之差是3的倍数，男生人数 - 女生人数 = 总人数的 $\frac{7}{11} - \frac{4}{11} = \frac{3}{11}$

4. 隔级比重

已知 $A$ 是 $C$ 的 $\frac{1}{a}$ ， $B$ 是 $A$ 的 $\frac{1}{b}$ ，则 $B$ 是 $C$ 的

\frac{1}{a \times b}

示例：

如：东区参赛人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，东区参赛人数的 $\frac{1}{3}$ 获奖，则东区参赛人数占总人数 $\frac{1}{15}$ 。

因此，总人数是 5 和 3 的倍数，也是 15 的倍数。

6. 公约数和公倍数

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6.1 约数与倍数

若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

公约数与最大公约数

几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。

公倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。

考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。

6.2 方法技巧

（1）两个数最大公约数和最小公倍数求取方法：一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。

把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。
把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。

解析：

24、36的最大公约数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 共同的质因数是2和3，最大公约数是2 × 2 × 3 = 12
24、36的最小公倍数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 共同质因数和各自独有的质因数连乘起来，最小公倍数是2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

（2）三个数最大公约数和最小公倍数的求取方法

求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数(除1外)，然后把所有共同的质因数连乘起来。
求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数

解析：

24、36、90的最大公约数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 90 = 2 × 3 × 3 × 5
- 共同的质因数是2和3，最大公约数是2 × 2 × 3 = 12
24、36、90的最小公倍数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 90 = 2 × 3 × 3 × 5
- 共同质因数和各自独有的质因数连乘起来，最小公倍数是2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360

6.3 多位数之和

A. 17
C. 15
B. 16
D. 14

解析：

解法1：数字特性，整除。（1）求几个数字和，联想被3和9整除。（2）四位数能被15除尽，可知这个四位数能被3整除，则四个数字的和也能被3整除，只有C符合。

解法2：方程法+最小公倍数已知 15、12 和 10 的最小公倍数为 60，设这个四位数为 $60x$ ，被三个数除尽时所得到的三个商的和为 1365。

可得：

\frac{60x}{15} + \frac{60x}{12} + \frac{60x}{10} = 4x + 5x + 6x = 1365

解得 $x = 91$ ，因此：

60x = 5460

即这个四位数的各位数字之和为：

5 + 4 + 6 + 0 = 15

答案为 C。

6.4 周期问题

例题： 甲，乙，丙，丁每人隔不同的天数去健身房健身，甲2 天去一次，乙3天去一次，丙4天去一次，丁5天去一次，上周星期日四人在健身房同日健身，下一次四人同日去健身房健身是星期几?

A.星期四
C.星期六
B.星期五
D.星期日

解析：

周期问题，最小公倍数。2、3、4、5最小公倍数为60，下一次相遇60天后，7周余4天，所以为周四。A。

例题： A、B、C、D四人去羽毛球馆打球，A每隔5天去一次，B每隔11天去一次，C每隔17天去一次，D每隔29天去一次。5月18 日，四个人恰好在羽毛球馆相遇，下一次相遇的时间为

A.9 月18日
C.11 月14 日
B.10 月14日
D.12 月18日

解析：

A、B、C、D四人周期分别为6、12、18、30，周期最小公倍数 180。从5月18日向后数180天，即6个月，因此时间必然在11月。C。

例题： 甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4，5，6棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工?

A.37
C.74
B.53
D.106

解析：

：4、5、6最小公倍数为60，则三个办公室分别有60/4=15， 60/5=12，60/6=10 人，一共有37人。A.

例题： 两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？

A. 48
C. 72
B. 60
D. 96

解析：

（1）甲有17%是刑事案件，案件数为整，所以甲总案件数为100的倍数。（2）甲乙案件数共160起，甲总案件数只能为100，乙案件数为60。乙非刑事案件数为60×（1－20%）=48（起）。A。注：遇到百分数、比例、小数、分数，一般都可用数字特性法解题，但必须为最简分数或互质分数。

例题： 甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5∶ 6，乙班为5∶4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和：

A. 多1人
C. 少1人
B. 多2人
D. 少2人 解析：

数字特性法。（1）甲班男女生比例5∶6，甲班人数为5＋6=11的倍数，又因甲班有 40 多名学生，故甲班总人数为44人，男女分别有44×5÷（5＋6）=20 （人）、44×6÷（5＋6）=24（人）。（2）同理，乙总人数为5＋4=9的倍数，则总人数45人，男女生分别有 25、20 人。（3）两班男生之和20＋25=45，女生之和24＋20=44，男生比女生多1人。

例题： 古希腊数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。根据这个墓志铭，丢番图的寿命为：

A. 60
C. 77
B. 84
D. 63 解析：

解法 1：倍数特性。他生命的六分之一是童年，丢番图的年龄为 6 的倍数，排除 CD。

又过一生的七分之一后他结了婚，说明丢番图的年龄为 7 的倍数，只有 B 符合。

或 “六分之一是童年，七分之一后他结了婚” 一定是 6 和 7 的公倍数，只有 B 符合。

解法 2：年龄问题

设丢番图寿命为 $x$ ，则儿子寿命为 $\frac{1}{2}x$ 。根据年龄构成可得：

\frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x + 5 + \frac{1}{2}x + 4 = x

解得 $x = 84$ 。因此答案为 B。

以下是使用 Markdown 和 LaTeX 美化后的内容，符合全文的 Markdown 规范：

6.5 余数问题

（一）基本形式

被除数 = 除数 × 商 + 余数（都是正整数）

（二）同余

两个整数 $a$ 、 $b$ 除以自然数 $m$ ，所得余数相同。

同余定义：两个整数 $a$ 、 $b$ 除以自然数 $m$ ( $m > 1$ )，所得余数相同，则称整数 $a$ 、 $b$ 对自然数 $m$ 同余。

例如：23 除以 5 的余数是 3，18 除以 5 的余数也是 3，则称 23 与 18 对于 5 同余。

（三）口诀

余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍做周期

余同取余，公倍数做周期：除 3、4、10 都余 1， $60n + 1$

如果一个数除以几个不同的数，余数相同，这个数表示成除数的最小公倍数的倍数 + 余数。

例：一个数除以 3 余 1，除以 4 余 1，除以 10 余 1，则这个数可以表示为 $60n + 1$ ，60 是 3、4、10 的最小公倍数， $n = 0, 1, 2, \ldots$
和同加和，公倍数做周期：除数 + 余数相同，除 5 余 4，6 余 3，8 余 1， $120n + 9$

一个数除以几个不同的数，除数 + 余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数 + 该和（除数与余数之和）。

例：一个数除以 5 余 4，除以 6 余 3，除以 8 余 1，则这个数可以表示为 $120n + 9$ ，120 是 5、6、8 的最小公倍数， $9 = 5 + 4 = 6 + 3 = 8 + 1$ ， $n = 0, 1, 2, \ldots$

证明：要解决同余方程组：

\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{5} \\ x \equiv 3 \pmod{6} \\ x \equiv 1 \pmod{8} \end{cases}

并求出 $x \mod \text{lcm}(5,6,8)$ 的余数，我们可以按照以下步骤进行：

步骤 1：计算最小公倍数（LCM）

首先计算 5、6 和 8 的最小公倍数：

\text{lcm}(5,6,8) = \text{lcm}(5, 2 \times 3, 2^3) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120

因此，我们需要求解 $x \mod 120$ 的余数。

步骤 2：合并同余方程

我们先合并后两个同余方程：

\begin{cases} x \equiv 3 \pmod{6} \\ x \equiv 1 \pmod{8} \end{cases}

假设 $x = 8k + 1$ ，代入第一个同余方程：

8k + 1 \equiv 3 \pmod{6} \\ 8k \equiv 2 \pmod{6}

由于 $8 \equiv 2 \pmod{6}$ ，上式化简为：

2k \equiv 2 \pmod{6} \\ k \equiv 1 \pmod{3}

即 $k = 3m + 1$ ，代入 $x = 8k + 1$ 得：

x = 8(3m + 1) + 1 = 24m + 9

因此，我们得到：

x \equiv 9 \pmod{24}

步骤 3：结合第一个同余方程

现在，我们有：

\begin{cases} x \equiv 9 \pmod{24} \\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{cases}

设 $x = 24m + 9$ ，代入第二个同余方程：

24m + 9 \equiv 4 \pmod{5} \\ 24m \equiv -5 \pmod{5} \\ 24m \equiv 0 \pmod{5}

因为 $24 \equiv 4 \pmod{5}$ ，所以：

4m \equiv 0 \pmod{5} \\ m \equiv 0 \pmod{5}

即 $m = 5n$ ，代入 $x = 24m + 9$ 得：

x = 24 \times 5n + 9 = 120n + 9

因此：

x \equiv 9 \pmod{120}

结论

满足给定同余条件的数 $x$ 除以 120 的余数是 9。

差同减差，公倍数做周期：除数 - 余数相同，除 3 余 1，4 余 2，10 余 8， $60n - 2$

如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差（除数与余数之差）相减的形式。

例：一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8，则这个数可以表示为60n-2，60 是3、4、10 的最小公倍数，2=3-1=4-2=10-8，n=0，1，2，...

例题： 一批武警战士平均分成若干小组执勤。如果每3 人一组则剩2人，如果每4人一组则剩3人，如果每5人一组则剩4人。这批武警战士至少有( )人。：

A. 19
C. 79
B. 59
D. 119

解析：

A.差同减差，3、 4、5最小公倍数为60，则总人数为60-1=59。或者代入法计算

例题： 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：：

A.5 个
C.7 个
B.6 个
D.8 个

解析：

方法1：和同加和+余同取余（1）除以5余2，除以4余3符合“和同加和”，这个数为20n+7。（2）20n+7和除以9余7符合“余同取余”，则这个数为180n+7，该数为三位数，则100 < 180n+7 < 1000，n可为1、2、3、4、5，一共5个数。方法2：除以9余7，除以5余2，除以4余3，4、5、9最小公倍数 180，这个数可表示为180n+a，1000÷180=5余一个数，所以有5个。

方法二：同余方程我们可以通过设置方程来解决这个问题。

设这个三位数为 $x$ 。

根据题意，满足以下条件：

$x \equiv 7 \mod 9$
$x \equiv 2 \mod 5$
$x \equiv 3 \mod 4$

步骤 1: 解第一个和第二个方程

我们先考虑前两个方程：

从 $x \equiv 7 \mod 9$ 可以表示为 $x = 9k + 7$ （其中 $k$ 是整数）。
将 $x = 9k + 7$ 代入 $x \equiv 2 \mod 5$ ：

9k + 7 \equiv 2 \mod 5

计算 $9 \mod 5$ 得 $4$ ，所以我们有：

4k + 2 \equiv 2 \mod 5

简化得到：

4k \equiv 0 \mod 5

从中我们可以得出 $k \equiv 0 \mod 5$ ，所以可以表示为 $k = 5m$ （其中 $m$ 是整数）。

因此，

x = 9(5m) + 7 = 45m + 7

步骤 2: 代入第三个方程

现在我们将上述结果代入第三个方程 $x \equiv 3 \mod 4$ ：

45m + 7 \equiv 3 \mod 4

计算 $45 \mod 4$ 得 $1$ ，所以我们有：

m + 3 \equiv 3 \mod 4

简化得：

m \equiv 0 \mod 4

所以可以表示为 $m = 4n$ （其中 $n$ 是整数）。

因此，

x = 45(4n) + 7 = 180n + 7

步骤 3: 查找三位数

我们现在需要找满足 $100 \leq 180n + 7 < 1000$ 的 $n$ 。

对不等式进行分析：

100 \leq 180n + 7 \implies 93 \leq 180n \implies n \geq \frac{93}{180} \implies n \geq 1

180n + 7 < 1000 \implies 180n < 993 \implies n < \frac{993}{180} \implies n < 5.516

因此 $n$ 的取值范围是 $n = 1, 2, 3, 4, 5$ 。

步骤 4: 计算对应的三位数

于是，我们得到有效的 $n$ 值和对应的 $x$ 值：

当 $n = 1$ : $x = 180 \times 1 + 7 = 187$
当 $n = 2$ : $x = 180 \times 2 + 7 = 367$
当 $n = 3$ : $x = 180 \times 3 + 7 = 547$
当 $n = 4$ : $x = 180 \times 4 + 7 = 727$
当 $n = 5$ : $x = 180 \times 5 + 7 = 907$

我们可以得到五个三位数：187, 367, 547, 727, 和 907。

因此，这样的三位数共有 5个。

答案是 A. 5个。

代入排除法比例法