最值问题

解题思路

两未知数要使和最大★“便宜的”要尽量多
两未知数要使差最大★“贵的”要尽量多
两未知数要使和最小★“贵的”要尽量少
两未知数要使差最小★“便宜的”要尽量少

例题

例1：一项测验共有29道单项选择题，答对得5分，答错减3 分，不答不得分也不减分，答对15题及以上另加10分，否则另减5分。小郑答题共得60分，问他最少有几道题未答？

A. 1
C. 3
B. 2
D. 4

解析：最值问题，不定方程，因子倍数

要想使未答题最少，则使答对和答错的尽可能多，应让答对的题超过 15 题，获得额外 10 分，这样也可以使答错的题多一些。
设答对 $x$ ，答错 $y$ ，不答 $z$ ：
$5x + 10 - 3y = 60$
得： $5x - 3y = 50$ $y$ 越大， $x$ 也越大。

(1) $x \geq 15$ ，且 $x + y + z = 29$ ;
(2) 5x 和 50 有 5 因子，则 $y = 0, 5, 10, 15 \dots$

$\begin{aligned} ① &\ \text{当 } y = 0, x = 10, y = 5, x = 13, \text{不符合 } x \geq 15。 \\ ② &\ y = 10, x = 16, z = 3, \text{符合。} \\ ③ &\ y = 15, x = 19，题数超过 29，不满足。再往后，xy 增相关，之和更 \gt 29。 \end{aligned}$

因此， $y = 10$ ， $x = 16$ 。未答 $z = 3$ 道。C.

容斥原理几何问题