过河问题

一、题目描述

一条船只能运送 N 个人，现在有 M 个人等待过河，求过河安排。

二、解题思路

1. 核心公式

过河总次数 = $\frac{M-1}{N-1}$

其中：

• M: 等待过河的总人数
• N: 船一次可以运送的人数

2. 公式解释

1. 分子和分母都减去 1 是因为需要 1 人划船。如果需要 n 个人划船，则应同时减去 n。
2. "过一次河"指的是单程，"往返一次"指的是双程。
3. 最后一次过河不需要返回。

三、重点解析

1. 为什么要减 1？

   • 划船人数的考虑：每次过河都需要有人划船，这个人不计入可运送的人数中。
   • 例如：如果船载 5 人，实际上只能运送 4 人，因为 1 人必须划船。

2. 单程与双程的区别

   • 单程：只计算从一岸到另一岸的次数。
   • 双程：包括去程和回程，通常用于计算船只的往返次数。

3. 最后一次过河的特殊性

   • 当所有人都过河后，船不需要再返回，这就是为什么公式中使用 M-1。

四、例题演练

题目：有 20 人需要过河，船一次可载 6 人，其中 1 人划船。问至少需要几次才能让所有人过河？

解答：

1. 套用公式：$\frac{M-1}{N-1} = \frac{20-1}{6-1} = \frac{19}{5} = 3.8$
2. 因为次数必须是整数，所以向上取整，得到 4 次。

详细过程：

1. 第一次：5 人过河，1 人回来
2. 第二次：5 人过河，1 人回来
3. 第三次：5 人过河，1 人回来
4. 第四次：剩下的 5 人过河，无需回来

例1： 有37 红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要 几次才能渡完？

• A.7 次
• C.9 次
• B.8 次
• D.10 次

例2： 有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天这只青蛙跳上5 米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出？

• A.7
• C.9
• B.8
• D.10