容斥原理

容斥原理是行测数量关系中的重要知识点，也是集合论的基础内容之一。掌握容斥原理可以帮助考生更好地解决复杂的计数问题。

基本概念

容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）用于计算多个集合并集的元素个数。它的核心思想是：先把所有集合的元素个数相加，然后减去重复计算的部分。

基本公式

两个集合的情况

对于两个集合 A 和 B，其并集的元素个数为：

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

其中：

• $|A \cup B|$ 表示 A 和 B 的并集的元素个数
• $|A|$ 和 $|B|$ 分别表示集合 A 和 B 的元素个数
• $|A \cap B|$ 表示 A 和 B 的交集的元素个数

三个集合的情况

对于三个集合 A、B 和 C，其并集的元素个数为：

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

应用举例

例题1：班级活动参与统计

某班级有100名学生，其中参加篮球队的有30人，参加足球队的有25人，参加乒乓球队的有28人。已知参加篮球和足球的有10人，参加篮球和乒乓球的有12人，参加足球和乒乓球的有8人，三个队都参加的有5人。问至少参加一项运动的学生有多少人？

解析：

1. 设至少参加一项运动的学生人数为 x
2. 应用三个集合的容斥原理公式： $x = 30 + 25 + 28 - 10 - 12 - 8 + 5 = 58$

因此，至少参加一项运动的学生有58人。

例题2：购买商品统计

某商场做调查，发现购买商品A的有120人，购买商品B的有150人，购买商品C的有180人。同时购买A和B的有40人，购买A和C的有50人，购买B和C的有60人，购买全部三种商品的有20人。问总共有多少人购买了这三种商品中的至少一种？

解析：

1. 设购买至少一种商品的人数为 y
2. 应用三个集合的容斥原理公式： $y = 120 + 150 + 180 - 40 - 50 - 60 + 20 = 320$

因此，总共有320人购买了这三种商品中的至少一种。

例题3：三集合问题

某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参 加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两 个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数 为：

• A. 75
• C. 88
• B. 82
• D. 95

例题4：文氏图法

试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项 测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优 品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评 Ⅱ合格的产品数之比为6∶5。若该批产品次品率为10%，则该批产品的优品 率为：

• A. 10%
• C. 20%
• B. 15%
• D. 25%

例题5：多集合反向构造

某社团共有46人，其中35爱好戏剧，30人爱好体 育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都 喜欢?

• A. 5
• C. 7
• B. 6
• D. 8