鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是公务员考试中的一类经典题型。它的本质是加权平均问题，通常表现为：已知一个总体的总量和两个组成部分的个体量，要求计算这两个部分的数量。

一、核心概念

我们通过一个经典的“鸡兔同笼”的例子来理解这个问题的核心思想和解题方法。

场景： 想象一个笼子里关着若干只鸡和兔子。我们从笼子外面只能看到它们的头和脚。

我们知道：

这是解决鸡兔同笼问题最经典、最巧妙的方法，体现了一种重要的逻辑思维。

推导过程:

大胆假设：我们先做一个极端假设。假设笼子里全是鸡。
计算理论值: 如果35只都是鸡，那么应该有 $35 \times 2 = 70$ 只脚。
寻找偏差: 但实际上有94只脚。理论值比实际值少了 $94 - 70 = 24$ 只脚。
分析偏差原因: 为什么会少24只脚呢？因为我们把笼子里的兔子也当成鸡了！每把一只兔子“变”成一只鸡，脚的数量就会减少 $4 - 2 = 2$ 只。
计算结果: 那么，这24只脚的差额，就是因为我们把一些兔子算成了鸡。差了24只脚，说明有多少只兔子被我们“变”成了鸡呢？很简单，用差额除以每只兔子的脚差：$24 \div 2 = 12$ 只。
- 所以，兔子的数量是 12 只。
- 鸡的数量就是 $35 - 12 = 23$ 只。

我们也可以反向假设：

反向假设：假设笼子里全是兔子。
计算理论值: 如果35只都是兔子，那么应该有 $35 \times 4 = 140$ 只脚。
寻找偏差: 实际上有94只脚。理论值比实际值多了 $140 - 94 = 46$ 只脚。
分析偏差原因: 这是因为我们把鸡也当成了兔子。每把一只鸡“变”成一只兔子，脚的数量就会增加 $4 - 2 = 2$ 只。
计算结果: 多出来的46只脚，就意味着有 $46 \div 2 = 23$ 只鸡被我们“变”成了兔子。
- 所以，鸡的数量是 23 只。
- 兔子的数量就是 $35 - 23 = 12$ 只。

公式提炼:

从上面的推导，我们可以得到通用公式：

假设全是“鸡”: 兔数 = $$\frac{\text{总脚数} - (\text{鸡脚数} \times \text{总头数})}{\text{兔脚数} - \text{鸡脚数}}$$
假设全是“兔”: 鸡数 = $$\frac{(\text{兔脚数} \times \text{总头数}) - \text{总脚数}}{\text{兔脚数} - \text{鸡脚数}}$$

这个公式可以推广到所有类似问题。我们将“鸡”看作“部分1”，将“兔”看作“部分2”：

部分2数量 = $$\frac{\text{总量} - (\text{部分1的单位量} \times \text{总个数})}{\text{部分2的单位量} - \text{部分1的单位量}}$$

对于习惯代数思维的同学，方程法更加直接和普适。

设未知数: 设鸡的数量为 $x$ 只，则兔子的数量为 $(35 - x)$ 只。
建立等量关系: 问题的核心等量关系在于“脚的总数”。
- (鸡的脚数) + (兔的脚数) = 总脚数
列出方程: $$2x + 4(35 - x) = 94$$
解方程: $$2x + 140 - 4x = 94$$ $$140 - 2x = 94$$ $$2x = 140 - 94$$ $$2x = 46$$ $$x = 23$$
- 所以，鸡的数量是23只。
- 兔子的数量是 $35 - 23 = 12$ 只。

例1：某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？

例2: 甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且 x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差多少？

例3：得分问题 一份试卷有25道选择题，答对一题得4分，答错或不答均扣1分。某同学共得了70分，那么他答对了多少道题？

识别题型：当你看到一个问题包含一个总和量（如总头数、总次数、总题数）和两个不同的单位量（如鸡脚/兔脚、甲教室人数/乙教室人数、答对得分/答错扣分），就可以考虑使用鸡兔同笼模型。
假设法是核心：假设法是鸡兔同笼问题的灵魂。其关键在于“先假设成同一类，再根据差额去调整”。这个思想在解决许多数学问题时都非常有用。
方程法是万能钥匙：如果对假设法不熟悉，或者题目关系比较复杂，方程法永远是最可靠的工具。准确地设未知数、找到等量关系、列出方程，是解决应用题的通用逻辑。
巧用特性法：在解方程的过程中，特别是选择题，要时刻保持对数字的敏感。
- 奇偶性：分析运算结果的奇偶，可以快速排除选项。
- 尾数法：通过观察运算结果的个位数，有时能直接锁定答案。
- 整除/倍数特性：利用数字的整除关系，可以简化计算或在不定方程中确定未知数的取值范围。
模型转化：很多问题看似不是鸡兔同笼，但可以通过抽象和转化，套用其解题模型。例如利润问题、工程问题、浓度问题等，在一定条件下都可以转化为鸡兔同笼来快速求解。

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