牛吃草问题

一、题目特征：一边匀速生长，一边匀速消耗

假设草生长速度恒定，不同数量的牛吃光同一片草所需时间不同，求牛吃光草所需时间或求一定时间内吃光草所需牛数。

二、牛吃草相关公式

1. 牛头数 $\times$ 天数 = 原有草量 + 每天草量 $\times$ 天数

2. 原有草量 = $(\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) \times \text{天数}$

$\text{原有草量} = \text{牛头数} \times \text{天数} - \text{草的生长速度} \times \text{天数} = (\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) \times \text{天数}$

3. 草生长速度 = $(\text{牛数 1} \times \text{吃草 t1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草 t2}) / (\text{吃草 t1} - \text{吃草 t2})$

$\text{草的生长速度} = \frac{\text{牛数 1} \times \text{吃草时间 1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草时间 2}}{\text{吃草时间 1} - \text{吃草时间 2}}$ （要将草场面积统一）

4. 吃的天数 = 原有草量 ÷ $(\text{牛头数} - \text{草的生长速度})$

5. 牛头数 = 原有草量 ÷ 吃的天数 + 草的生长速度

类推应用

（一）公式

1. 总量初始值 = (消耗量 - 生长速度) × 时间

2. 生长速度 = (消耗量 1 × $t_1$ - 消耗量 2 × $t_2$) / ($t_1 - t_2$)

$\text{生长速度} = \frac{\text{消耗量 1} \times \text{消耗时间 1} - \text{消耗量 2} \times \text{消耗时间 2}}{\text{消耗时间 1} - \text{消耗时间 2}}$

3. 消耗时间 = 总量初始值 ÷ (消耗量 - 生长速度)

4. 消耗量 = (总量初始值 ÷ 消耗时间) + 生长速度

$\text{消耗量} = \frac{\text{总量初始值}}{\text{消耗时间}} + \text{生长速度}$

（二）相关题型

• 总量初始值 对应 原有草量
• 总量消耗速度 对应 牛数
• 总量消耗时间 对应 吃草时间
• 总量变化速度 对应 草变化速度

例题讲解

例1 某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人 连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人 进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

• A.25
• C.30
• B.35
• D.40

例2 有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水 量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10 台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？

• A. 10小时
• B. 9小时
• C. 8小时
• D. 7小时

例3 某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场， 而每分钟来的观众人数一样多.从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入 场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟.问如果同时开7个入场口 需几分钟？

• A.18 分钟
• C.22 分钟
• B.20 分钟
• D.25 分钟