牛吃草问题

假设草生长速度恒定，不同数量的牛吃光同一片草所需时间不同，求牛吃光草所需时间或求一定时间内吃光草所需牛数。

\text{原有草量} = \text{牛头数} \times \text{天数} - \text{草的生长速度} \times \text{天数} = (\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) \times \text{天数}

草生长速度 = $(\text{牛数 1} \times \text{吃草 t1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草 t2}) / (\text{吃草 t1} - \text{吃草 t2})$

\text{草的生长速度} = \frac{\text{牛数 1} \times \text{吃草时间 1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草时间 2}}{\text{吃草时间 1} - \text{吃草时间 2}}

（要将草场面积统一）

类推应用

\text{生长速度} = \frac{\text{消耗量 1} \times \text{消耗时间 1} - \text{消耗量 2} \times \text{消耗时间 2}}{\text{消耗时间 1} - \text{消耗时间 2}}

\text{消耗量} = \frac{\text{总量初始值}}{\text{消耗时间}} + \text{生长速度}

例1 某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

解析：牛吃草，方法 1：公式法。
(1) 设原有河沙量 $y$ ，每月沉积河沙量 $x$ ，80 人连续开采 6 个月，60 人连续开采 10 个月，

\begin{cases} y = (80 - x) \times 6 \\ y = (60 - x) \times 10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = 30 \\ y = 300 \end{cases}

(2) 不枯竭，则每月开采量 = 每月沉积量，故最多供 30 人连续开采。B。

例2 有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10 台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？

解析：设水池水量 $y$ ，每小时漏出水量 $x$ ，

\begin{cases} y = (5 - x) \times 40 \\ y = (10 - x) \times 15 \end{cases} \quad x = 2, \quad y = 120

设 14 台抽水时间 $t$ ，则：

120 = (14 - 2) \times t

解得 $t = 10$ 。A。

例3 某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多.从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟.问如果同时开7个入场口需几分钟？

解析：D。两种方法，列方程和牛吃草公式。

方法 1：列方程

\begin{cases} y = (4 - x) \times 50 \\ y = (6 - x) \times 30 \end{cases} \quad x = 1, \quad y = 150

开 7 个入口，需要 ( 150 = (7 - 1) \times t )，解得 ( t = 25 )。

方法 2：公式法每分钟增加的买票人数：

= \frac{(4 \times 50 - 6 \times 30)}{(50 - 30)} = 1 \text{ 人}

因此：

150 = (7 - 1) \times t，解得 t = 25