工程问题

一、核心公式

工程问题的核心公式是：

$W = E \times T$

其中：

$W$ ：工作总量
$E$ ：效率
$T$ ：时间

注意：这个公式是解决工程问题的基础，考生必须牢记并灵活运用。

二、解题技巧

（一）比例法

比例法的核心思想是：用比例不用方程，用份数不用分数。

举例：如果甲、乙两人合作完成一项工程，效率比为2:3，那么他们的工作量比也是2:3。

（二）赋值法（特殊值法）

适用情况：在乘积关系的三个量中，只知道其中一个的具体数值，另外两个只知道比例关系。

步骤：

选择工作总量作为突破口
假设工程量为1或某个合适的值（通常选择最小公倍数）

技巧：赋值为1往往可以简化计算，但选择最小公倍数有时能避免出现分数，使计算更简单。

（三）方程法

1. 只给出工作时间的情况

例题：一项工程，甲单独30天完成，乙单独45天完成，两人合作几天完成?

解题步骤：

赋值总量为时间的最小公倍数（这里是90）
求出各自的效率：
- 甲： $E_1 = 90 \div 30 = 3$
- 乙： $E_2 = 90 \div 45 = 2$
合作时的总效率： $E = E_1 + E_2 = 3 + 2 = 5$
合作完成时间： $T = W \div E = 90 \div 5 = 18$ 天

2. 效率制约型

情况分类：

两人效率比
前后效率比：效率提高20%，前后效率比1:1.2，即5:6
效率相同
阶段效率比: 某一部分工程，甲完成需要5天，乙要3天。甲乙效率比3：5

解题方法：赋值效率

例题：一项工程，甲和乙的工作效率比2:3，合作8天完成，甲单独几天完成?

解题步骤：

赋值甲效率为2，乙效率为3
合作效率： $2 + 3 = 5$
设工程总量为 $x$ ，则有： $5 \times 8 = x$
甲单独完成时间： $T = x \div 2 = (5 \times 8) \div 2 = 20$ 天

3. 效率给出型

直接给出效率具体值的情况，如甲每天生产50个零件。

解题方法：直接根据公式 $W = E \times T$ 进行分析求解。

例题讲解

给出时间型：赋值总量

例：两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要2小时，燃烧完一根细的木炭需要1小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现粗木炭的剩余长度是细木炭的剩余长度的2倍，则燃烧了（）分钟。

A. 35
B. 40
C. 45
D. 50

给出时间型，赋值总量。（1）总长度=燃烧速度×时间，赋值木炭长度为2，则粗木炭燃烧速度为 1，细木炭速度2。
（2）设燃烧时间均为x小时，2－x=（2－2x）×2，x=2/3小时=40分钟。B。

例某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？

A. 600
B. 900
C. 1350
D. 1500

解析: 赋值法，赋值总量。

赋值总量为 $30$ 份，则甲效率为 $3$ 份，乙 $2$ 份。
设两人一起做时，甲做了 $t$ 小时， $30 = 3t + 2 \left(t - \frac{5}{3}\right)$ ，解得 $t = \frac{20}{3}$ 小时。

效率重组提高，总量不变，求时间

例：工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工最多需要多少天完成？

A. 11
B. 13
C. 15
D. 30

解析: 工程问题，时间类，赋值法。

赋值总量 $60$ ，则全部五条的效率为 $\frac{60}{5} = 12$ ，最快的三条生产线效率和为

$\frac{60}{6} = 10$

得到最慢的两条生产线的效率和为 $12 - 10 = 2$ 。利用扩大一倍，得到现在的两条生产线效率和为 $4$ ，则时间为

$\frac{60}{4} = 15 \ (\text{天})$

C。

例：某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9 小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少时间完成？

A. 1.4 小时
B. 1.8 小时
C. 2.2 小时
D. 2.6 小时

解析: 工程问题，时间类，赋值法。

赋值工作总量 $72$ （ $9$ 和 $8$ 的公倍数）。
工人都在岗位工作时， $9$ 小时可以完成一项生产任务，则效率为

$\frac{72}{9} = 8$ 。甲乙交换后，效率变为 $\frac{72}{8} = 9$ ，提高 $1$ 。丙丁交换后，效率变为 $\frac{72}{8} = 9$ ，提高 $1$ 。

若甲乙、丙丁同时交换，效率提高 $2$ ，即变为 $8 + 1 + 1 = 10$ ，则工作时间为

$\frac{72}{10} = 7.2 \ \text{（小时）}$

，即提前 $9 - 7.2 = 1.8\ \text{（小时）}$ 完成。B。

效率制约型：赋值效率，求出总量

例：甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的 60%。若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是

A. 9
B. 11
C. 10
D. 15

解析: 效率比例型，赋值效率。

效率比 $5 : 4 : 6$ ，赋值甲乙两效率分别为 $5$ 、 $4$ 、 $6$ 。
甲乙合作 $6$ 天，再由乙单独做 $9$ 天，完成全部工程的 $60\%$ ，则工程总量

$\frac{5 \times 6 + 4 \times (6 + 9)}{60\%} = 150$

。剩下 $150 \times 40\% = 60$ ，两单独完成需要

$\frac{60}{6} = 10 \$

效率的倍数关系

例： A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共同完成需要6天。如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1 天，问要保证工程按原来的时间完成，A队中途最多可以休息几天？

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

解析：效率比例型，赋值效率。（1）效率比2：1，赋值B效率1，A为2。共同完成需6天，总量（2＋ 1）×6=18。
（2）工作效率均提高一倍，得B队效率变为2，A变为4。设A队最多休息x天，得到 $18=4×（6-x）＋2×（6-1）$ ，解得 $x=4$ 。A。

多人合作，分阶段减少人

例：某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了

A. 10 天
B. 11 天
C. 12 天
D. 13 天

解析：效率比例型，赋值效率。
（1）设每名绣工效率为1，则工程总量3×1×8=24。
（2）第一阶段三名绣工工程总量50%×24=12，需要12÷3=4天；
第二阶段两名绣工工程总量（75%-50%）×24=6，需要6÷2=3天；
第三阶段一名绣工工程总量（1-75%）×24=6，需要6÷1=6天。一共用了4+3+6=13 天。D。

给出各自效率值，方程法

例：甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则甲、乙任务量总共为多少个零件？

A. 1200
B. 1800
C. 2400
D. 3600

解析: 解法1：方程法。

设乙生产 $t$ 天，则甲生产 $(t+2)$ 天，甲任务量是乙的 2 倍，

$200 \times (t+2) = 2 \times 150 \times t$

解得 $t = 4$ ，所以甲任务量 $1200$ 个，乙 $600$ ，共 $1800$ 个。B。

解法2: 设乙完成任务的时间为 $t$ 天，则甲为 $(t+2)$ 天。则甲的任务量 = $200 \times (t+2)$ 个，乙的任务量 = $150t$ 个。因甲的任务量是乙的 2 倍，则

$\frac{200 \times (t+2)}{150t} = 2$

解得 $t = 4$ 天。则乙的任务量 $150 \times 4 = 600$ 个，甲的任务量 = 乙 $\times 2 = 1200$ 个。二者任务量之和 = $1200 + 600 = 1800$ 个。

故正确答案为 B。

单人/分阶段工程问题

例：某项工程，甲工程队单独施工需要30天完成，乙施工队单独施工需要25天完成，甲队单独施工了4天后改由两队一起施工，期间甲队休息了若千天，最后整个工程共耗时19天完成，问甲队中途休息了几天?

A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

解析：D。赋值法工程量赋值150，效率甲5，乙6，甲先做了4天，乙一共工作19-4=15 天，工作量是15×6=90，则甲工作150-90=60，工作时间60/5=12天，则甲休息了19-12=7天

轮流合作型

例：一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天?

A. 14
B. 16
C. 15
D. 13

解析：A。赋值法工程量赋值20，效率甲是1，乙是2，甲乙轮流做，一个周期效率是 1+2=3，甲乙合作6周期完成3×6=18，还剩2，甲在做1天，乙半天，所以一共需要2×6+1+1=14

牛吃草问题

A. 12 小时
B. 13 小时
C. 14 小时
D. 15 小时

解析：A。赋值法
工程量赋值12，效率甲3，乙2，甲乙效率和是5，但实际是4，说明渗水-1，乙单独需12/（2-1）=12

例2：同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时 30 分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟，则B管每分钟进水多少立方米：

解析: B。方法 1，方程法。

加 1 小时 30 分钟，即 90 分钟，A 比 B 多进水 180，则每分钟多进 2，设 B 效率为 $x$ ，A 为 $x + 2$ ，

$90 \times (x + 2 + x) = 160 \times (x + 2)$

方法 2，比例法:

AB 同时进水和 A 进水时间比 $90:160 = 9:16$ ，则效率比为 $16:9$ ，相差 7 份，只有 B 是 7 的倍数，可再代入验证。

时间效率比例转化

例：为响应建设“绿色城市”的号召，某社区义务植树300 棵，由于参加植树的全体党员植树的积极性高涨，实际工作效率为原来的1.2 倍，结果提前20分钟完成任务，则原来每小时植树多少棵

A.120
B.150
C.135
D.125

解析：B。效率比 $1：1.2=5：6$ ，则时间比 $6：5$ ，时间比提前了 $1$ 份， $1$ 份即20分钟，则原来和现在的时间分别是120和100分钟，即原来时间为2 小时，则原来效率为 $300/2=150$ 棵/小时。

例：某项工程计划300天完成，开工100天后，由于人员减少，工作效率下降了20%，完成该工程比原计划推迟多少天？

A.40
B.50
C.60
D.70

解析：B。方法1：赋值法。
假设每天效率为1，总工程为300，开工100天后剩200，效率是0.8， 200/0.8=250 天，多 50天
方法2：比例法。时间比，时间份数差
后期效率比5：4，时间比4：5，以前4份是200，一份为50，现在5份多一份

线段法行程问题