工程问题
一、核心概念
1. 什么是工程问题？
工程问题是行测数量关系中的一种经典题型，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
为了让大家更好地理解，我们来看一个生活中的例子：
假设小明同学很喜欢吃饺子，他妈妈平均每个小时能包60个饺子。如果妈妈连续包了2个小时，那么她一共包了多少个饺子？
这个问题很简单，我们一下子就能算出来：
在这个例子中：
- 工作总量 (Workload)：总共需要完成的任务量。这里指总共要包的120个饺子。
- 工作效率 (Efficiency)：单位时间内完成的工作量。这里指妈妈每小时包60个饺子。
- 工作时间 (Time)：完成工作总量所需要的时间。这里指包饺子的2个小时。
通过这个例子，我们就推导出了工程问题的核心公式。
2. 核心公式
由这个核心公式，我们可以推导出另外两个同样重要的公式：
注意：这三个公式是解决所有工程问题的基石。考生必须熟练掌握并能根据题目条件灵活运用。
二、核心解题方法
（一）赋值法
赋值法是工程问题中最常用、最核心的技巧。当题目没有给出具体的工作总量或效率时，我们可以通过赋一个“巧值”来简化计算。
- 赋值工作总量：当题目只给出完成工作所需的时间时（例如，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成），通常将工作总量赋值为所有时间的最小公倍数。这样算出来的效率都是整数，便于计算。
- 赋值工作效率：当题目给出不同主体之间的效率比时（例如，甲、乙效率比为2:3），我们可以直接将效率赋值为对应的份数，即甲效率为2，乙效率为3。
（二）比例法
比例法的核心思想是利用三个量之间的正反比关系来解题，尤其适用于求解“效率变化”相关的问题。
- 当工作总量(W)一定时，效率(E)与时间(T)成反比。即效率越高，时间越短。效率比为 ，则时间比为 。
- 当效率(E)一定时，工作总量(W)与时间(T)成正比。
- 当时间(T)一定时，工作总量(W)与效率(E)成正比。
（三）方程法
当题目中的等量关系比较直接，或者使用赋值法、比例法较为困难时，方程法是一个通用的选择。直接设未知数（通常是时间、效率或总量），根据题意列出方程求解。虽然普适，但计算量可能较大，通常作为保底方法。
三、真题讲解
1. 基础时间型问题
这类问题通常只给出完成任务需要的时间，是赋值法应用最基础的场景。
例1： 两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要2小时，燃烧完一根细的木炭需要1小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现粗木炭的剩余长度是细木炭的剩余长度的2倍，则燃烧了（ ）分钟。
- A. 35
- B. 40
- C. 45
- D. 50
2. 合作工程问题
例2 某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？
- A. 600
- B. 900
- C. 1350
- D. 1500
3. 效率变化问题
例3： 工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工最多需要多少天完成？
- A. 11
- B. 13
- C. 15
- D. 30
例4： 某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少时间完成？
- A. 1.4 小时
- B. 1.8 小时
- C. 2.2 小时
- D. 2.6 小时
4. 比例类工程问题
例5： 甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%。若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是
- A. 9
- B. 11
- C. 10
- D. 15
例6： A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共同完成需要6天。如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1天，问要保证工程按原来的时间完成，A队中途最多可以休息几天？
- A. 4
- B. 3
- C. 2
- D. 1
5. 多主体分段合作问题
例7： 某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了
- A. 10 天
- B. 11 天
- C. 12 天
- D. 13 天
6. 给定效率值问题
例8： 甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则甲、乙任务量总共为多少个零件？
- A. 1200
- B. 1800
- C. 2400
- D. 3600
7. 轮流合作问题
例9： 一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天?
- A. 14
- B. 16
- C. 15
- D. 13
8. “牛吃草”及变形问题
牛吃草问题是工程问题的变体，它的特点是工作量会发生变化（草一边被吃，一边在生长）。可以看作是“三方”的工程问题：吃的、旧有的、新长的。
例10： 同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟，则B管每分钟进水多少立方米：
- A. 6
- B. 7
- C. 8
- D. 9
9. 效率与时间反比关系问题
例11： 为响应建设“绿色城市”的号召，某社区义务植树300棵，由于参加植树的全体党员植树的积极性高涨，实际工作效率为原来的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则原来每小时植树多少棵
- A. 120
- B. 150
- C. 135
- D. 125
例12： 某项工程计划300天完成，开工100天后，由于人员减少，工作效率下降了20%，完成该工程比原计划推迟多少天？
- A. 40
- B. 50
- C. 60
- D. 70
四、技巧总结
- 公式是基础：牢记并理解
W = E × T及其变形公式，这是所有解题方法的前提。 - 赋值是核心：遇到没有具体数值的“时间”或“效率比”，大胆使用赋值法。赋时间的最小公倍数为总量，或直接赋效率比为效率值，是最高效的解题路径。
- 比例是利器：当题目涉及效率、时间变化时，要立刻联想到“反比关系”，利用比例法可以绕开复杂计算，实现秒杀。
- 方程是保障：当其他方法思路不清晰时，沉着冷静地使用方程法。虽然计算可能稍慢，但能保证稳定得分。
- 审题要仔细：注意题目中的细节，如“合作”、“轮流”、“休息”、“效率提升/下降”、“提前/推迟”等，这些都是解题的眼。
通过掌握以上核心概念和方法，并辅以大量真题练习，相信同学们一定能攻克工程问题！
五、给完工时间型
题型特征
此类题目的核心特征在于题干明确给出多个工作主体（人员、设备等）完成同一项工程或任务所需的时间数据。典型表述如：
- 单个主体完成整体工程的时间（如：甲需12小时）
- 多个主体协同完成的时间（如：甲乙合作需8小时）
- 不同主体组合的完工时间（如：甲乙、乙丙的不同组合时间）
解题思路
-
工程总量的赋值原则
- 选取各完工时间的公倍数作为工程总量
- 优先选择最小公倍数，便于后续运算
- 总量的选择应当便于求解各主体效率
-
效率转化的关键步骤
- 依据"工程量=效率×时间"的基本公式
- 通过总量除以完工时间得到效率
- 注意效率之间的关系转化
-
求解方法的选择
- 依据题目给定的工作过程设置方程
- 运用工程问题的基本公式
- 结合具体情境选择合适的求解策略
-
常见陷阱提示
- 注意效率变化的情况
- 关注工作时间的衔接
- 警惕工作量的重复计算
真题精讲
【例13】(2020山东)某单位职工食堂需要装修，可以使用甲、乙、丙三个装修队，甲队单独工作需10天完成，乙队单独工作需15天完成，丙队单独工作需30天完成。甲队装修一天需要1200元，乙队装修一天需要1000元，丙队装修一天需要800元。若该单位要求在9天内完成装修，则该单位至少需要付多少元装修费？（不足一天按一天算）
A. 12000
B. 12600
C. 15000
D. 18600
【例14】(2022湖北)某工厂一机器需要同类零件分别安装在A和B处。已知零件安装在A处可工作600小时报废，安装在B处可工作900小时报废。两零件分别安装在A、B两处工作一段时间后，交换零件位置继续工作。这时零件恰好同时报废，忽略安装和更换零件的时间，请问这两个零件使机器工作了多少小时？
A. 640
B. 720
C. 800
D. 840
【例15】(2021四川)某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要12小时、10小时和8小时完成。现按"甲—乙—丙—甲······"的顺序让三个工程队轮班，每队施工1小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工时间共计：
A. 2小时54分
B. 3小时
C. 3小时54分
D. 4小时
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