概率问题

方法1，任取两颗，共$C_4^2 = 6$种组合；其中一颗是牛奶味，则取出的两颗 糖不可能为“巧克力、果味”这种组合，此时还有5种组合：牛奶1+苹果， 牛奶1+巧克力，牛奶2+苹果，牛奶2+巧克力，牛奶1+牛奶2；取另一颗也是 牛奶味，只有1种情况，可能性为1/5。C。 方法2，4颗糖组队，C4 2=6种，去掉苹果+巧克力，剩5种，即1/5。C。

解法1：以单一主体为对象，只看乙可选的所有情况和满足条件的情 况。 乙值班共有4种情况：端午上午、端午下午、第二天、第三天。乙在端 午当天值班情况有2种，则端午当天值班概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ D

解法2：以所有主体为对象，所有人排列求概率。 （1）端午节值班有4种情况：端午节上午、端午节下午、第二天、第三 天。 （2）四个人值班总方法数$A_4^4 = 24$种；乙在端午上午或下午值班方法数 $A_2^1 = 2$ 种，剩余甲丙丁3人值班情况数为$A_3^3 = 6$种。乙端午值班概率为 $\frac{2 \times 6}{24} = \frac{1}{2}$ D

解析: 两人券不少于 600 的情况：

1. 一人 200，一人 400，概率 $P = \frac{C_5^3 C_5^2}{C_5^5} = \frac{12}{100}$;

2. 两人均 400，$P = \frac{C_5^2 C_5^2}{C_5^5} = \frac{1}{100}$。不少于 600 概率 = $\frac{12}{100} + \frac{1}{100} = 0.13$。C。

解析: 甲买定一趟车票后，乙买同一趟车票的概率为：

$\frac{1}{6 + 5 + 4} = \frac{1}{15} < 10\%$ A

或者 $P = \frac{\text{满足}}{\text{总情况}} = \frac{15}{15 \times 15} = \frac{1}{15}$ 或者一共 15 趟车，两人同一辆的情况只有一种，即 $P = \frac{1}{15}$。

解析:

方法 1: 固定参照对象，小张先选，哪个位置都可，概率 1；小李要和小张同排，共有 39 个位可选，但同排只剩 7 个位，所以同一排概率是：$\frac{7}{39}$

方法 2: 40 个座位选 2 个，共 $C_{40}^2$ 种；两人同一排 8 个座位选 2 个有 $C_8^2$ 种，5 排选一排 $C_5^1 = 5$，

$P = \frac{5 \times C_8^2}{C_{40}^2} = \frac{7}{39} \approx 18\%$

B。

方法 1: ※对立思想，选项入手，每个选项有选和不选两种，$2^5$。错误的有选一种和不选，5 个里面任意一个不选有 5 种，全不选有 1 种，结果为：

$2^5 - 5 - 1 = 26$

方法 2: 正确选项只能有 1 种。总情况数即为猜测正确的情况，包含多种情况：（错以为分子是 $C_5^1$，每个选项都有可能正确）

1. 若猜测正确答案为 2 个选项：则有 $C_5^2$ 种情况；
2. 若猜测正确答案为 3 个选项：则有 $C_5^3$ 种情况；
3. 若猜测正确答案为 4 个选项：则有 $C_5^4$ 种情况；
4. 若猜测正确答案为 5 个选项：则有 $C_5^5$ 种情况。

根据公式，概率 $P = 1 \div (C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5) = 1 / 26$。C。

解析：甲获胜情况如下： （1）第一、第二局甲胜，第三局不用进行（不需再×概率），概率80%× 80%=0.64； （2）第一局甲胜，第二局乙胜，第三局甲胜，概率80%×20%×80%=0.128； （3）第一局乙胜，第二局甲胜，第三局甲胜，概率20%×80%×80%=0.128。 甲获胜的概率为0.64＋0.128＋0.128=0.896。C。
方法2：排除AB，因甲每局都有80%的概率赢，则比赛次数越多，甲获胜 概率越大，无线接近于1，因此答案一定大于80%，AB错。

解析: 总情况数 $C_{10}^5 C_5^5$，平板电脑只有甲乙 2、3 和 3、2 两种情况，甲平板 2 笔记本 3，即 $C_5^2 C_5^3$；甲平板 3 笔记本 2，即 $C_5^3 C_5^2$，满足情况数：

$C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2$

概率为：

$\frac{C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2}{C_{10}^5 C_5^5} = \frac{50}{63}$

A。错选 C，注意分母不 $\times A_2^2$，因为总情况只是要分成两组，一组 5 台，不要求两组排列顺序。

注意:（如果先组合再排列，注意排列的是 $C_m^n$ 中的 $n$，一定是 $n$ 分不同情况有顺序，如果不区分，则不用 $A_n^n$）。

解析：16人淘汰赛，决出冠亚军需要比赛15场，一共有8对8，4对 4，2对2，1对1四轮比赛，每一轮甲只要遇到乙就必定输，一共是4次，遇 到乙的概率为4/15，则不遇到乙胜出概率为1-4/15=11/15，选C。

解析：小王能够坐上班车只能到站点早于或等于班车到的时间，阴影部 分面积为7/8，D。 如图所示，横坐标代表班车时间，纵坐标代表小王到达时间。 第一步，先画总面积。假设小王到的时间为y，班车到的时间为x， 6:30≤y≤7:30，7:00≤x≤8:00。围起来的面积为正方形面积。
第二步，画符合要求的的面积。小王要想能赶班车，必然有则有y≤x (小王到达的时间要早于班车，人能等车，车不等人)。y≤x与正方形的交 集，即阴影部分，为能赶上班车的情况。斜线上x=y，斜线以下是y≤x。
第三步，计算概率，即面积比例。将正方形分割为8个三角形，白色占 1/8，阴影部分占7/8，即小王坐上班车的概率为7/8。正确答案为D。

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解析:

方法 1: 分步思维

先安排小王分到任意一队，概率 = 1；剩 7 人选小李与小王一队，概率 $P = 1 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$。A。

或先安排小王从 8 个位置任选，概率 $P = \frac{8}{8}$，再安排小李选，还剩 7 个位置，但与小王同队只有 1 个位置 $P = \frac{1}{7}$，所以总的概率 $P = \frac{8}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$。

方法 2:

$P = \frac{\text{满足条件}}{\text{总情况数}}$

总情况先从 8 人选 2 人一组，再 6 选 2 一组，4 选 2 一组，最后 2 选 2 一组。满足情况条件为小王小李一组，共 4 组 4 种情况，剩下 6 人在分组，6 选 2，4 选 2，2 选 2。

$P = \frac{4C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

方法 3: 平均分组

8 人平均分成 4 组，总的情况数先将 8 人分 4 步排列成 4 组，即

$C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2$

，但此时分步做即相当于有顺序地排列，实际上不需要有顺序，则再除 $A_4^4$，有

$\frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}$

种；满足条件的情况将小王小李放同一组后，剩下 6 人平均分成 3 组再如此排列和除以重复的，有

$\frac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3} = \frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}$

种，$P = \frac{1}{7}$。

解析: 捆绑法，每对母子看成一个整体，相当于 5 个元素围成一圈，圆周排列，共有

$A_4^4 \times (A_2^2)^5$

种情况；要求所有孩子均不相邻，则先排好 5 个母亲，然后让孩子位于母亲的左侧或右侧，只能都在左侧或都在右侧，不能交叉，共 2 种情况，情况数有 $A_4^4 \times 2$ 种。故所求概率为

$\frac{A_4^4 \times 2}{A_4^4 \times (A_2^2)^5} = 6.25\%$

B。

拓展: $n$ 个人围一圈，有 $A_{n-1}^{n-1}$ 种排列方法。

解析：5个球摸到红球概率P1=1/5，摸到黄球概率P2=2/5，故所获奖励 的期望值为10×1/5+1×2/5+ 0×2/5=2.4。D。
拓展：概率论中数学期望是指实验中每次可能结果的概率乘以其结果的 总和。