概率问题

一、等可能事件概率

$P(A) = \frac{\text{满足条件情况数}}{\text{总情况数}} = \frac{m}{n}$

可能出现的结果 $n$ 个，事件 $A$ 包含的结果 $m$ 个，那么概率 $P(A) = \frac{m}{n}$ 。

二、条件概率

$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 在事件 $A$ 发生 ( $P(A) > 0$ ) 的前提下，事件 $B$ 发生的概率：

$P(B/A) = \frac{\text{AB 同时发生的概率}}{\text{A 发生的概率}}$ 条件概率的变式。

例: 四颗糖，一颗巧克力味，一颗果味，两颗牛奶味，任意取出两颗，其中一颗是牛奶味，求另一颗糖也是牛奶味的概率？

两个都是牛奶味只有 1 种情况，但总情况不能算 $C_2^2$ ，因为其中一个是牛奶已限定，排除了果味 + 巧克力的情况，总情况是

$C_4^2 = 5$

三、对立事件 / 逆向思维

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$ 事件 $A$ 发生的概率与事件 $A$ 不发生的概率满足：对于一些比较复杂的概率问题，可以考虑利用该条件间接求解。

四、二项分布 / 独立重复实验

$P_n(K) = C_n^k p^k (1 - p)^{n-k}$

重复试验 $n$ 次，每次发生概率为 $P$ ，不发生概率为 $1 - P$ ，则 $n$ 次独立重复试验发生 $k$ 次的概率。

如 4 天中每天下雨概率为 0.6，求 4 天中仅有一天下雨的概率为

P_n(1) = C_4^1 \times 0.6 \times (1 - 0.6)^{4-1} = C_4^1 \times 0.6 \times 0.4^3

五、期望值

一种平均思想。通过多次实验，看满足情况的平均概率在哪个点。变量的输出值乘以概率的总和。如每次抽奖中的概率低，抽取 $n$ 多次，看中奖概率集中在哪个点，即平均下来的概率。

如果 $X$ 是一个离散的随机变量，输出值为 $X_1, X_2, \cdots X_n$ ，输出值相应的几率为 $P_1, P_2, \cdots P_n$ (几率为 1)，那么期望值

$E(X) = X_1 P_1 + X_2 P_2 + \cdots + X_n P_n$

数学期望: 概率论中数学期望是指实验中，每次可能结果的概率 $x$ 其结果的总和。

六、平均分组

考得少。 $mn$ 个元素平均分成 $n$ 组，每组 $m$ 个，有

$C_{mn}^m C_{mn-m}^m C_{mn-2m}^m \cdots C_m^m \times C_m^m \div n!$ 种。

例：6 个元素平均分成 3 组，每组 2 个，共有

$C_6^2 C_4^2 C_2^2 / 3!$

七、几何模型

关键词：会面性问题，样本个数无数多个。

八、圆周排列

$n$ 个人围一圈，有 $A_{n}^{n-1}$ 种排列方法。

多个对象捆绑做相同选择，固定参照对象，以一个对象为标准。
易错点: 两个一样的东西组合，不分顺序的情况下，一定有一次重复，总情况数一定要减掉重复的。

例题

例 1: 有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次？

A. 3次
C. 5次
B. 4次
D. 6次

方法1，任取两颗，共 $C_4^2 = 6$ 种组合；其中一颗是牛奶味，则取出的两颗糖不可能为“巧克力、果味”这种组合，此时还有5种组合：牛奶1+苹果，牛奶1+巧克力，牛奶2+苹果，牛奶2+巧克力，牛奶1+牛奶2；取另一颗也是牛奶味，只有1种情况，可能性为1/5。C。方法2，4颗糖组队，C4 2=6种，去掉苹果+巧克力，剩5种，即1/5。C。

例 2: 某单位端午节3天假期安排甲、乙、丙、丁4人值班。端午节当天上、下午各安排一个人值班，另外两天每天安排一个人，每人只值班一次。则乙被安排在端午节当天值班的概率是：

A.1/24
C.1/3
B.1/12
D.1/2

解法1：以单一主体为对象，只看乙可选的所有情况和满足条件的情况。乙值班共有4种情况：端午上午、端午下午、第二天、第三天。乙在端午当天值班情况有2种，则端午当天值班概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ D

解法2：以所有主体为对象，所有人排列求概率。（1）端午节值班有4种情况：端午节上午、端午节下午、第二天、第三天。（2）四个人值班总方法数 $A_4^4 = 24$ 种；乙在端午上午或下午值班方法数 $A_2^1 = 2$ 种，剩余甲丙丁3人值班情况数为 $A_3^3 = 6$ 种。乙端午值班概率为 $\frac{2 \times 6}{24} = \frac{1}{2}$ D

例 3: 某商场搞抽奖促销，限每人只能参与一次，活动规则是：一个纸箱里装有5个大小相同的乒乓球，其中3个是白色2个是红色，参与者从中任意抽出2个球，如果两个都是白色可得抵用券100元，一白一红可得抵用券200元，两个都是红色可得抵用券400元。若小李和小林两人分别参加抽奖，那么两人获得抵用券之和不少于600元的概率是多少？

A. 0.12
C. 0.13
B. 0.22
D. 0.30

解析: 两人券不少于 600 的情况：

一人 200，一人 400，概率 $P = \frac{C_5^3 C_5^2}{C_5^5} = \frac{12}{100}$ ;
两人均 400， $P = \frac{C_5^2 C_5^2}{C_5^5} = \frac{1}{100}$ 。不少于 600 概率 = $\frac{12}{100} + \frac{1}{100} = 0.13$ 。C。

例 4: A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车组列车每天6车次，普通动车组列车每天5车次，快速旅客列车每天4车次。甲、乙两人要同一天从A地出发前往B地，假设他们买票前没有互通信息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车车票的概率有多大？

A. 小于10%
C. 20%到25%之间
B. 10%到20%之间
D. 25%到30%之间

解析: 甲买定一趟车票后，乙买同一趟车票的概率为：

$\frac{1}{6 + 5 + 4} = \frac{1}{15} < 10\%$ A

或者 $P = \frac{\text{满足}}{\text{总情况}} = \frac{15}{15 \times 15} = \frac{1}{15}$ 或者一共 15 趟车，两人同一辆的情况只有一种，即 $P = \frac{1}{15}$ 。

**例5 **: 某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

A.高于20％
C.正好为20％
B.高于15％但低于20％
D.不高于15％

解析:

方法 1: 固定参照对象，小张先选，哪个位置都可，概率 1；小李要和小张同排，共有 39 个位可选，但同排只剩 7 个位，所以同一排概率是： $\frac{7}{39}$

方法 2: 40 个座位选 2 个，共 $C_{40}^2$ 种；两人同一排 8 个座位选 2 个有 $C_8^2$ 种，5 排选一排 $C_5^1 = 5$ ，

P = \frac{5 \times C_8^2}{C_{40}^2} = \frac{7}{39} \approx 18\%

B。

例6: 一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是：

A.1/5
C.1/26
B. 1/21
D. 1/31

方法 1: ※对立思想，选项入手，每个选项有选和不选两种， $2^5$ 。错误的有选一种和不选，5 个里面任意一个不选有 5 种，全不选有 1 种，结果为：

2^5 - 5 - 1 = 26

方法 2: 正确选项只能有 1 种。总情况数即为猜测正确的情况，包含多种情况：（错以为分子是 $C_5^1$ ，每个选项都有可能正确）

若猜测正确答案为 2 个选项：则有 $C_5^2$ 种情况；
若猜测正确答案为 3 个选项：则有 $C_5^3$ 种情况；
若猜测正确答案为 4 个选项：则有 $C_5^4$ 种情况；
若猜测正确答案为 5 个选项：则有 $C_5^5$ 种情况。

根据公式，概率 $P = 1 \div (C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5) = 1 / 26$ 。C。

例7: 某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？

A. 0.768
C. 0.896
B. 0.800
D. 0.924

解析：甲获胜情况如下：（1）第一、第二局甲胜，第三局不用进行（不需再×概率），概率80%× 80%=0.64；（2）第一局甲胜，第二局乙胜，第三局甲胜，概率80%×20%×80%=0.128；（3）第一局乙胜，第二局甲胜，第三局甲胜，概率20%×80%×80%=0.128。甲获胜的概率为0.64＋0.128＋0.128=0.896。C。
方法2：排除AB，因甲每局都有80%的概率赢，则比赛次数越多，甲获胜概率越大，无线接近于1，因此答案一定大于80%，AB错。

例8: 某企业将5台不同的笔记本电脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超过3台的概率为

A.50/63
C.25/63
B.125/126
D.125/252

解析: 总情况数 $C_{10}^5 C_5^5$ ，平板电脑只有甲乙 2、3 和 3、2 两种情况，甲平板 2 笔记本 3，即 $C_5^2 C_5^3$ ；甲平板 3 笔记本 2，即 $C_5^3 C_5^2$ ，满足情况数：

C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2

概率为：

\frac{C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2}{C_{10}^5 C_5^5} = \frac{50}{63}

A。错选 C，注意分母不 $\times A_2^2$ ，因为总情况只是要分成两组，一组 5 台，不要求两组排列顺序。

注意:（如果先组合再排列，注意排列的是 $C_m^n$ 中的 $n$ ，一定是 $n$ 分不同情况有顺序，如果不区分，则不用 $A_n^n$ ）。

例9: 甲、乙等16人参加乒乓球淘汰赛。每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者进入下一轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对乙的胜率为 0%，对其他14人的胜率均为100%。则甲夺冠的概率为：

A.3/4
C.11/15
B.8/11
D.225/256

解析：16人淘汰赛，决出冠亚军需要比赛15场，一共有8对8，4对 4，2对2，1对1四轮比赛，每一轮甲只要遇到乙就必定输，一共是4次，遇到乙的概率为4/15，则不遇到乙胜出概率为1-4/15=11/15，选C。

例9: 某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的时间为上午7点到8点之间，班车接人后立刻开走；小王到站点的时间为上午6点半至7点半之间。假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：

A.1/8
C.1/2
B.3/4
D.7/8

解析：小王能够坐上班车只能到站点早于或等于班车到的时间，阴影部分面积为7/8，D。如图所示，横坐标代表班车时间，纵坐标代表小王到达时间。第一步，先画总面积。假设小王到的时间为y，班车到的时间为x， 6:30≤y≤7:30，7:00≤x≤8:00。围起来的面积为正方形面积。
第二步，画符合要求的的面积。小王要想能赶班车，必然有则有y≤x (小王到达的时间要早于班车，人能等车，车不等人)。y≤x与正方形的交集，即阴影部分，为能赶上班车的情况。斜线上x=y，斜线以下是y≤x。
第三步，计算概率，即面积比例。将正方形分割为8个三角形，白色占 1/8，阴影部分占7/8，即小王坐上班车的概率为7/8。正确答案为D。

例10: 某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么小王和小李恰好被分在同一队的概率是:

A. $\frac{1}{7}$
C. $\frac{1}{21}$
B. $\frac{1}{14}$
D. $\frac{1}{28}$

Here is the extracted content in Markdown and LaTeX format:

解析:

方法 1: 分步思维

先安排小王分到任意一队，概率 = 1；剩 7 人选小李与小王一队，概率 $P = 1 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$ 。A。

或先安排小王从 8 个位置任选，概率 $P = \frac{8}{8}$ ，再安排小李选，还剩 7 个位置，但与小王同队只有 1 个位置 $P = \frac{1}{7}$ ，所以总的概率 $P = \frac{8}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$ 。

方法 2:

P = \frac{\text{满足条件}}{\text{总情况数}}

总情况先从 8 人选 2 人一组，再 6 选 2 一组，4 选 2 一组，最后 2 选 2 一组。满足情况条件为小王小李一组，共 4 组 4 种情况，剩下 6 人在分组，6 选 2，4 选 2，2 选 2。

P = \frac{4C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}

方法 3: 平均分组

8 人平均分成 4 组，总的情况数先将 8 人分 4 步排列成 4 组，即

C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2

，但此时分步做即相当于有顺序地排列，实际上不需要有顺序，则再除 $A_4^4$ ，有

\frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}

种；满足条件的情况将小王小李放同一组后，剩下 6 人平均分成 3 组再如此排列和除以重复的，有

\frac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3} = \frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}

种， $P = \frac{1}{7}$ 。

例11: 亲子班上5对母子坐成一圈，孩子都挨着自己的母亲就坐，问所有孩子均不相邻的概率在以下哪个范围内？

A.小于5%
C.10%-15%
B.5%-10%
D.大于15%

解析: 捆绑法，每对母子看成一个整体，相当于 5 个元素围成一圈，圆周排列，共有

A_4^4 \times (A_2^2)^5

种情况；要求所有孩子均不相邻，则先排好 5 个母亲，然后让孩子位于母亲的左侧或右侧，只能都在左侧或都在右侧，不能交叉，共 2 种情况，情况数有 $A_4^4 \times 2$ 种。故所求概率为

\frac{A_4^4 \times 2}{A_4^4 \times (A_2^2)^5} = 6.25\%

B。

拓展: $n$ 个人围一圈，有 $A_{n-1}^{n-1}$ 种排列方法。

例12: 商场以摸奖的方式回馈顾客，箱内有5个乒乓球，其中1个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则一位顾客所获奖励的期望值为：

A.10
C.2
B.1.2
D.2.4

解析：5个球摸到红球概率P1=1/5，摸到黄球概率P2=2/5，故所获奖励的期望值为10×1/5+1×2/5+ 0×2/5=2.4。D。
拓展：概率论中数学期望是指实验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

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