扑克问题

题型特征

第一次拿完牌后，恰好凑成最大最小数之和的倍数

例题讲解

例1： 甲乙两人在玩一个沙盘游戏，比赛的规则是：在一个分 为50个单位的区域上，每人轮流去划定这些区域作为自己的领地，每次可以 划定1到5个单位，谁作为最后划定区域的人则为胜利者，如果由甲划定， 那么甲一开始要划定（ ）个单位，才能保证自己获胜。

• A. 1
• C. 3
• B. 2
• D. 4

详细解答： 要解决这个问题，可以运用博弈论中的策略，确保甲能够在游戏中获胜。具体步骤如下：

游戏规则回顾：

• 总单位数：50个单位。
• 每次划定单位数：1到5个单位。
• 胜利条件：划定最后一个单位的玩家获胜。

策略分析：

1. 目标：甲希望在每次自己的回合结束后，剩余的单位数为6的倍数（即6、12、18、...）。这样，无论乙每次划定多少个单位（1、2、3、4或5个），甲都可以通过划定相应数量的单位，使剩余单位数再次成为6的倍数。

2. 初始总数：50个单位。

3. 计算50对6的余数：

   $$50 \div 6 = 8 \text{ 余 } 2$$

   即：

   $$50 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 6)$$

4. 甲的第一步行动：

   • 甲需要划定2个单位，使得剩余的单位数为： $$50 - 2 = 48 \text{个}$$
   • 48是6的倍数（$48 \div 6 = 8$），这将使得乙在后续的每一步都无法打破这个6的倍数的局面。

5. 后续行动：

   • 无论乙划定了1、2、3、4还是5个单位，甲都可以通过划定（6 - 乙划定的单位数）个单位，使得剩余单位数再次成为6的倍数。
   • 最终，乙将被迫划定最后一个单位，导致甲获胜。

具体示例：

• 第一次：
  • 甲划定2个单位，剩余48个。
• 第二次：
  • 乙划定任意k个单位（1 ≤ k ≤ 5）。
  • 甲划定(6 - k)个单位，剩余单位数继续为6的倍数。
• 重复上述步骤，直到乙不得不划定最后一个单位，甲获胜。

结论： 为了确保甲能够获胜，甲在第一次划定时应划定2个单位。

正确答案：B．2

例2： 一副扑克牌（共54张），甲乙两人轮流拿，每人每次只能拿1、2、3 或者4张，谁拿到最后一张谁赢。若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张 牌，才能确保获胜？

• A．1
• C．3
• B．2
• D．4

例3： 一副扑克牌有52张，最上面一张是红桃A。如果每次把 最上面的10张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少 次移动，红桃A会出现在最上面？

• A.27
• B.26
• C.25
• D.24