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基期现期题型

基期现期题型

普通增长率

回顾基期现期题型常用的公式：

基期=现期1 + 增长率\text{基期} = \frac{\text{现期}}{\text{1 + 增长率}} 现期=基期×1 + 增长率\text{现期} = \text{基期} \times \text{1 + 增长率}

常用方法

  1. 直除法（简单直观）
  2. 小数化分数法（非常重要！）
  3. 选项代入校验法（常用）
  4. 分数比较法（参考“资料分析-速算技巧-分数比较”章节）
    • 直除法（取前几位）
    • 分子分母增速比较

例1
2013 年，全国共有工业企业法人单位 241 万个，从业人员 14025.8 万人，分别比 2008 年增长 26.6%和 19.5%。 问：2008 年，全国共有工业企业从业人员约为多少亿人？
A．1.0   B．1.2   C．1.3   D．1.5

解析

基期=现期1 + 增长率\text{基期} = \frac{\text{现期}}{\text{1 + 增长率}} 基期=14025.81+19.5%=14025.81.195≈140001.2\text{基期} = \frac{14025.8}{1 + 19.5\%} = \frac{14025.8}{1.195} \approx \frac{14000}{1.2}

  • 解法一：直接使用直除法进行计算，发现约在 1.2 附近，所以答案是 B.

  • 解法二：使用小数化分数法进行计算

140001.2=1400065=14000×56=700006≈1.1+ \frac{14000}{1.2} = \frac{14000}{\frac{6}{5}} = \frac{14000 \times 5}{6} = \frac{70000}{6} \approx 1.1^{+}

所以选择 B

例2 pic1 问题：如按 2016 年移动出行市场同比增长趋势估算，2018 年该市场规模将为：
A.接近 5000 亿元   B.6000 多亿元   C.8000 多亿元   D.超过 1 万亿元
解析：

移动出行2016移动出行2015=2038999≈2+\frac{{移动出行}_{2016}}{{移动出行}_{2015}} = \frac{2038}{999} \approx 2^{+}

所以

移动出行2018移动出行2016≈2038×2(2018−2016)>8000\frac{{移动出行}_{2018}}{{移动出行}_{2016}} \approx 2038 \times 2^{(2018-2016)} > 8000

所以选择 C

例3
2015 年我国规模以上高技术制造业投入研发经费 2034.3 亿元，比 2010 年增长 178.2%，增幅比其他制造业平均水平高 8.7 个百分点。2015 年我国高技术制造业申请发明专利 7.4 万件，比 2010 年增长 179%；实现新产品销售收入 3.1 万亿元，比 2010 年增长 127%。 问题：2010 年，我国高技术制造业实现新产品销售收入约多少万亿元？
A．1.4   B．1.5   C．1.6   D．1.7
解析

收入2010=收入20151+127%=3.12.27\text{收入}_{2010} = \frac{\text{收入}_{2015}}{1 + 127\%} = \frac{3.1}{2.27}

  • 解法一：使用直除法，直接使用 3.1 除以 2.27，发现约等于 1.4，所以选择 A

  • 解法二：使用小数化分数法，发现 2.27 约等于 2.25，所以

3.12.25=3.194=3.1×49=12.49≈1.4+\frac{3.1}{2.25} = \frac{3.1}{\frac{9}{4}} = \frac{3.1 \times 4}{9} = \frac{12.4}{9} \approx 1.4^{+}

所以选择 A

  • 解法三：选项代入校验法(以下步骤熟练后可以心算)， 代入 A
2.27×1.4=2.27×(1+0.4)≈2.27+2.2+×0.4≈2.27+0.9≈3.12.27 \times 1.4 = 2.27 \times (1 + 0.4) \approx 2.27 + 2.2^{+} \times 0.4 \approx 2.27 + 0.9 \approx 3.1

代入 B

2.27×1.5=2.27×(1+0.5)≈2.27+2.2+×0.5≈2.27+1.1≈3.37≫3.12.27 \times 1.5 = 2.27 \times (1 + 0.5) \approx 2.27 + 2.2^{+} \times 0.5 \approx 2.27 + 1.1 \approx 3.37 \gg 3.1

所以选择 A

例4
2015 年上半年 A 区完成规模以上工业总产值 289.9 亿元，同比下降 9.4%，降幅比 1-5 月扩大 0.7 个百分点，比 1-4 月扩大 2.2 个百分点，比一季度扩大 7.5个百分点。 问：2014 年上半年 A 区规模以上工业总产值约为多少亿元？
A．387   B．320   C．265   D．214

解析

  • 解法一：使用直除法
289.91−9.4%≈2900.91≈320\frac{289.9}{1 - 9.4\%} \approx \frac{290}{0.91} \approx 320
  • 解法二：使用小数化分数法，和使用直除法区别不大
  • 解发三：代入选项法
  1. 代入 A
工业总产值2014=387∗(1−9.4%)≈387∗(1−0.1)=350≫289.9工业总产值_{2014} = 387 * (1 - 9.4\%) \approx 387 * (1 - 0.1) = 350 \gg 289.9
  1. 代入 B
工业总产值2014=320∗(1−9.4%)≈320∗(1−0.1)=290≈289.9工业总产值_{2014} = 320 * (1 - 9.4\%) \approx 320 * (1 - 0.1) = 290 \approx 289.9

所以选择 B

例5
2017 年上半年，S 市对香港地区出口手机 1.5 亿台，减少 28.4%；对印度、美国、阿联酋分别出口 1151 万台、978.2 万台和 511.3 万台，增加 94.8%、45.6%和 11.4%。此外，对东盟、欧盟分别出口 251.2 万台、210.4 万台，减少 68.6%、60.6%。 问题：将不同出口目的地按 2016 年上半年自 S 市进口手机台数从多到少排列，正确的是（ ）。
A．东盟＞美国＞印度   B．印度＞美国＞东盟
C．印度＞东盟＞美国   D．美国＞东盟＞印度

解析

东盟=251.21−68.6%=251.20.314东盟 = \frac{251.2}{1 - 68.6\%} = \frac{251.2}{0.314} 美国=978.21+45.6%=978.21.456美国 = \frac{978.2}{1 + 45.6\%} = \frac{978.2}{1.456} 印度=11511+94.8%=11512.948印度 = \frac{1151}{1 + 94.8\%} = \frac{1151}{2.948}

比较东盟和美国：

分子=251978≈3+分子 = \frac{251}{978} \approx 3^{+} 分母=0.3141.456≈5−分母 = \frac{0.314}{1.456} \approx 5^{-}

分母增速大于分子增速分子变小，所以东盟 > 美国 同理 美国 > 印度，所以选 A

间隔增长率

公式推导

假设，2015 到 2016 的增长率为r1，2016 到 2017 的增长率为r2，计算2015到2017的间隔增长率 假设2015 的基期为

A2015A_{2015}

那么 2017 的现期为

A2017=A2016×(1+r2)=A2015×(1+r1)×(1+r2)A_{2017} = A_{2016} \times (1 + r_{2}) = A_{2015} \times (1 + r_{1}) \times (1 + r_{2})

则 2015 到 2017 的间隔增长率为

间隔增长率2015−2017=A2017−A2015A2015=A2015×(1+r1)×(1+r2)−A2015A2015=(1+r1)×(1+r2)−1=r1+r2+r1×r2\text{间隔增长率}_{2015-2017} = \frac{A_{2017} - A_{2015}}{A_{2015}} \\ = \frac{A_{2015} \times (1 + r_{1}) \times (1 + r_{2}) - A_{2015}}{A_{2015}} \\ = (1 + r_{1}) \times (1 + r_{2}) - 1 \\ = r_{1} + r_{2} + r_{1} \times r_{2}

估算技巧

估算

r1×r2r_{1} \times r_{2}

可以使用如下技巧

  1. 直接相乘
r1×r2=a%×b%=ab100%r_{1} \times r_{2} = a\% \times b\% = \frac{ab}{100}\%

例如

30%×40%=30×40100%=12%30\% \times 40\% = \frac{30 \times 40}{100}\% = 12\%
  1. 其中一个化为分数计算
r1×r2=1n×r2=r2nr_{1} \times r_{2} = \frac{1}{n} \times r_{2} = \frac{r_{2}}{n}

例如

33%×96%=13×96%=32%33\% \times 96\% = \frac{1}{3} \times 96\% = 32\%
  1. r1和r2 都小于 10% 时，两者乘积可以忽略不计
r1×r2<10%×10%=1%r_{1} \times r_{2} < 10\% \times 10\% = 1\%

例如

3%×4%=0.12%≈03\% \times 4\% = 0.12\% \approx 0

例 1
2015 年全国共建立社会捐助工作站、点和慈善超市 3.0 万个，比上一年减少 0.2 万个，其中：慈善超市 9654 个，同比下降 5.1%。全年共接收社会捐款654.5 亿元，其中：民政部门接收社会各界捐款 44.2 亿元，各类社会组织接收捐款 610.3 亿元，全年民政部门接收捐赠衣被 4537.0 万件，捐赠物资价值折人民币 5.2 亿元。全年有 1838.4 万人次困难群众受益，同比增长 8.5%，增长率较上一年下降 27.5 个百分点。全年有 934.6 万人次在社会服务领域提供了2700.7 万小时的志愿服务，同比减少 10.4 万小时。 问：2015 年受益的困难群众较 2013 年增长约：（ ）。
A．27.6%   B．34.5%   C．40.4%   D．47.6%

解析

  1. 找到关键语句"全年有 1838.4 万人次困难群众受益，同比增长 8.5%，增长率较上一年下降 27.5 个百分点。"，所以
r2015=8.5%r_{2015} = 8.5\% r2014=8.5%+27.5%=36%r_{2014} = 8.5\% + 27.5\% = 36\%
  1. 计算间隔增长率
间隔增长率2013−2015=8.5%+36%+8.5%×36%>44.5%\text{间隔增长率}_{2013-2015} = 8.5\% + 36\% + 8.5\% \times 36\% > 44.5\%

观察选项可以选择 D。

例2
截至 2014 年 12 月底，全国实有各类市场主体 6932.22 万户，比上年末增长14.35%，增速较上年同期增加 4.02 个百分点；注册资本（金）129.23 万亿元，比上年末增长 27.70%。其中，企业 1819.28 万户，个体工商户 4984.06 万户，农民专业合作社 128.88 万户。 问：截至 2012 年 12 月底，全国实有各类市场主体户数最接近以下哪个数字？
A．5100 万   B．4500 万   C．6100 万   D．5500 万

解析

  1. 找到关键语句"截至 2014 年 12 月底，全国实有各类市场主体 6932.22 万户，比上年末增长 14.35%，增速较上年同期增加 4.02 个百分点"，所以
r2014=14.35%r_{2014} = 14.35\% r2013=14.35%−4.02%=10.33%r_{2013} = 14.35\% - 4.02\% = 10.33\%
  1. 计算间隔增长率
间隔增长率=14.35%+10.33%+14.35%×10.33%≈24.68%+1.4%≈26%\text{间隔增长率} = 14.35\% + 10.33\% + 14.35\% \times 10.33\% \\ \approx 24.68\% + 1.4\% \approx 26\%
  1. 观察到间隔增长率为 26%，可以使用 25% 即1/4 进行估算，代入选项（以下步骤可以使用心算快速计算）
  • 代入 A
5100×(1+14)≈5100+1200=6300≪6932.225100 \times (1 + \frac{1}{4}) \approx 5100 + 1200 = 6300 \ll 6932.22
  • 选项 B 不用计算，计算结果肯定比 6300 小
  • 代入 C
6100×(1+14)≈6100+1500=7600≫6932.226100 \times (1 + \frac{1}{4}) \approx 6100 + 1500 = 7600 \gg 6932.22
  • 代入 D
5500×(1+14)≈5500+1400=6900≈6932.225500 \times (1 + \frac{1}{4}) \approx 5500 + 1400 = 6900 \approx 6932.22

所以选择 D

混合增长率

口诀：增长率总是偏向基期量大的

概念和计算方法

混合增长率可以理解为多个子项在各自增长的基础上，通过加权或平均得到的总体增长率。通常情况下，混合增长率是考虑到各项增长率的权重后，得到的一个综合性指标。

计算方法： 混合增长率的计算通常使用加权平均的方式，公式如下：

混合增长率=∑(子项权重×子项增长率)∑权重\text{混合增长率} = \frac{\sum(\text{子项权重} \times \text{子项增长率})}{\sum \text{权重}}

其中：

  • 子项权重可以根据每个子项在总量中的比重来确定；
  • 子项增长率指每个子项在特定时间段内的增长率。

示例 1：多个部门的混合增长率 假设有一家企业包含三个部门，A、B、C，各部门的收入和年增长率如下：

  • 部门A：收入为300万，增长率为10%
  • 部门B：收入为500万，增长率为8%
  • 部门C：收入为200万，增长率为12%

要计算整个企业的混合增长率，我们可以按收入权重进行加权计算：

混合增长率=(300×10%)+(500×8%)+(200×12%)300+500+200\text{混合增长率} = \frac{(300 \times 10\%) + (500 \times 8\%) + (200 \times 12\%)}{300 + 500 + 200}

分步计算如下：

  1. 计算每个部门的贡献：

    • 部门A的贡献 = 300 x 10% = 30
    • 部门B的贡献 = 500 x 8% = 40
    • 部门C的贡献 = 200 x 12% = 24

  2. 计算总收入和混合增长率：

总收入=300+500+200=1000 总收入 = 300 + 500 + 200 = 1000 混合增长率=30+40+241000=9.4% 混合增长率 = \frac{30 + 40 + 24}{1000} = 9.4\%

所以，整个企业的混合增长率为9.4%。

解题技巧

混合增长率总是偏向于权重大的那一边，距离和权重值成反比

例 假设上半年营收为 A 同比增速为 a，下半年营收为 B 同比增速为 b，计算全年的混合增长率

  1. 假设全年的混合增长率为 x，去年上半年营收为 A1，去年下半年营收为 B1，则今年全年的增量为
去年上半年的增量+去年下半年的增量=去年全年的增量去年上半年的增量 + 去年下半年的增量 = 去年全年的增量

代入数值有

A1×a+B1×b=(A1+B1)×xA_{1} \times a + B_{1} \times b = (A_{1} + B_{1}) \times x
  1. 根据基期现期公式有
A1=A1+aA_{1} = \frac{A}{1 + a} B1=B1+bB_{1} = \frac{B}{1 + b}
  1. 将 A1 和 B1 代入第一个公式有
A1+a×a+B1+b×b=(A1+a+B1+b)×x\frac{A}{1 + a} \times a + \frac{B}{1 + b} \times b = (\frac{A}{1 + a} + \frac{B}{1 + b}) \times x
  1. 进行移项
A1+a×(a−x)=B1+b×(x−b)\frac{A}{1 + a} \times (a-x) = \frac{B}{1 + b} \times (x-b)
  1. 继续移项
AB=x−ba−x×1+b1+a\frac{A}{B} = \frac{x-b}{a-x} \times \frac{1+b}{1+a}
  1. 提取出负号
AB=−x−bx−a×1+b1+a\frac{A}{B} = -\frac{x-b}{x-a} \times \frac{1+b}{1+a}
  1. 由于 a 和 b 已知，所以可以将(1+b)/(1+a)视为一个大于零的常数项 K
AB=−K×x−bx−a\frac{A}{B} = -K \times \frac{x-b}{x-a}
  1. 假设 a和 b 比较接近，那么 K 则接近 1，所以
AB=−x−bx−a\frac{A}{B} = -\frac{x-b}{x-a}
  1. 交叉相乘后移项有
A×a+B×b=(A+B)×xA \times a + B \times b = (A + B) \times x
  1. 分解出 X 有
x=AA+B×a+BA+B×bx = \frac{A}{A+B} \times a + \frac{B}{A+B} \times b

根据第8步的公式和第9步的公式可以有如下推论：

  1. 假设 A 很大，则 x 更接近 a, 同理如果 B 很大，则 x 更接近 b
    使用极限思想，如果 A = 10000，B = 0， 那么
A×a+B×b≈A×aA \times a + B \times b \approx A \times a (A+B)×x≈A×x(A + B) \times x \approx A \times x

所以 x 更接近 a

  1. 如果 A 和 B 相等，则 x 等于 a 和 b 的平均值
A×a+A×b=(A+A)×xA \times a + A \times b = (A + A) \times x

那么

x=a+b2x = \frac{a + b}{2}
  1. 增长率和混合增长率的差值和权重成反比
AB=−x−bx−a\frac{A}{B} = -\frac{x-b}{x-a}

例1 2020年，东部地区互联网业务收入11227亿元，同比增长14.8%，增速较上年同期回落9个百分点，中部地区互联网业务收入448.1亿元，同比增长3.4%，增速较上年同期回落53.1个百分点。2020年，互联网业务累计收入居前5名的广东（增长5.2%）、北京（增长21.5%）、上海（增长20.9%）、浙江（增长24.4%）和江苏（增长8.0%），共完成互联网业务收入10706亿元，同比增长15.1%。 问题：2020年，东部地区除广东、北京、上海、浙江和江苏之外的省市互联网业务收入约比2019年：
A. 增长了9%   B. 增长了19%
C. 减少了9%   D. 减少了19%

解析

  1. 理解题意有
东部地区互联网业务收入=前五名互联网业务收入（A）+其他省市互联网业务收入（B）东部地区互联网业务收入 = 前五名互联网业务收入（A） + 其他省市互联网业务收入（B）
  1. 假设前五名互联网业务收入为 A，那么A = 10706，a = 15.1%，x = 14.8%，代入公式
AB=−x−bx−a\frac{A}{B} = -\frac{x-b}{x-a}

得到

1070611227−10706=−14.8%−b14.8%−15.1%\frac{10706}{11227 - 10706} = -\frac{14.8\% - b}{14.8\% - 15.1\%}
  1. 使用近似
左边=10706521≈20左边 = \frac{10706}{521} \approx 20 右边=14.8%−b0.3%右边 = \frac{14.8\% - b}{0.3\%}
  1. 移项有
14.8%−b=20×0.3%=6%14.8\% - b = 20 \times 0.3\% = 6\% b=14.8%−6%=8.8%b = 14.8\% - 6\% = 8.8\%

所以选择 A

年均增长率问题

现期=基期×(1+年均增长率)n现期 = 基期 \times (1 + 年均增长率)^{n}

其中 n 为年份差

n=结束年份−开始年份n = 结束年份 - 开始年份

技巧：

  1. 代入法，将选项代入进行计算（需要记住常见的二次方三次方公式，参考）

  2. 如果年均增长率小于 10%，则可以使用近似公式

现期=基期×(1+年均增长率)n≈基期×(1+n×年均增长率)现期 = 基期 \times (1 + 年均增长率)^{n} \approx 基期 \times (1 + n \times 年均增长率)

例 某公司2015年营业收入为100亿元，如果2018年营业收入达到了140.5亿元，那么2015-2018年营业收入的年均增长率为（ ）。
A. 10.0%   B. 12.0%   C. 9.8%   D. 8.9%

解析

  • 解法一：近似法，观察选项，答案在10%左右，故可以使用近似公式
（1+x）n≈1+n×x（1 + x）^{n} \approx 1 + n \times x

由题意得

140.5100=(1+x)3≈1+3x\frac{140.5}{100} = (1 + x)^{3} \approx 1 + 3x

故x计算为

x≈1.405−13≈0.13x \approx \frac{1.405 - 1}{3} \approx 0.13

0.13接近12%，所以选择B

  • 解法二：代入法，将选项代入进行计算 代入 A
100×(1+10%)3=100×1.331=133.1<140.5100 \times (1 + 10\%)^{3} = 100 \times 1.331 = 133.1 < 140.5

所以 x > 10%，故选 B

例
pic2 2012 年至 2015 年，治理噪声投资额的年均增长率约为（）。
A.23%   B.34%   C.44%   D.53%

解析：

  • 观察选项发现比率比较大不适合使用近似法
  • 使用二分代入法，观察选项，发现代入 40% 则可以一次性排除两个选项
11627×(1+40%)3=11627×1.43≈11000+×2.74≈30000>治理噪声201511627 \times (1 + 40\%)^{3} = 11627 \times 1.4^{3} \approx 11000^{+} \times 2.74 \approx 30000 > 治理噪声_{2015}

可以排除 C 和 D

  • 进一步使用二分，选择30%代入计算（因为 30% 在 23% 和 34% 之间）
11627×(1+30%)3=11627×1.33≈11000+×2.2≈24000<治理噪声201511627 \times (1 + 30\%)^{3} = 11627 \times 1.3^{3} \approx 11000^{+} \times 2.2 \approx 24000 < 治理噪声_{2015}

可以排除 A , 所以选择 B

二分法介绍

二分法是一种在数学和计算机科学中常用的方法，用来快速找到某个问题的答案。想象一下，你有一个很长的数字列表，这些数字是按从小到大的顺序排列的。你想在这个列表中找到一个特定的数字，比如“7”。

二分法的步骤：

  1. 确定范围：

    • 首先，你看看整个列表的第一个数字和最后一个数字。假设列表是从1到100的数字。

  2. 找到中间值：

    • 然后，你找到这个列表的中间值。在这个例子中，中间值是50。

  3. 比较中间值：

    • 你把你要找的数字“7”和中间值“50”比较一下。显然，7比50小。

  4. 缩小范围：

    • 因为7比50小，你知道7肯定在1到50之间。所以，你把范围缩小到1到50。

  5. 重复步骤：

    • 你再找到1到50的中间值，这次是25。7比25小，所以你再把范围缩小到1到25。
    • 继续这个过程，找到1到25的中间值，这次是13。7比13小，所以你再把范围缩小到1到13。
    • 再找到1到13的中间值，这次是7。你终于找到了你要找的数字！

为什么二分法很高效？

  • 快速缩小范围：每次你都能把范围缩小一半，所以你很快就能找到你要找的数字。
  • 节省时间：如果你用最笨的方法，从1开始一个个找，可能要找7次才能找到7。但用二分法，你只需要3次就能找到7。

总结：

二分法就像是在一堆按顺序排列的书里找一本书，你每次都翻到中间，看看你要找的书在左边还是右边，然后继续在那一半里找，直到找到为止。这种方法非常高效，尤其是在处理大量数据时。

简单计算和查找增长率和增长量题型