错位加减法

适用范围

• 多步乘除

基本原理

所有数取三位数，分子分母同时扩大或缩小相同倍，数值不变，加减数值越小，越精确。

题型讲解

1. A/B 型（一步除法，去分母）

将分母化为整十、整百、整千。

例1

$\frac{54321}{12345} \approx \frac{543}{123}$

通过把分子变成100来简化计算，123变成100，即分母减去了23。23 是前两位12的2倍再减1（前一位的1倍）得到，分子作同样的倍数变化即可，则： $543 - 54 \times 2 + 5 \times 1 = 440$ 结果变成： $\frac{440}{100} = 4.4$ 误差在2%以内。

例2

$\frac{18623}{1021}$

分子分母位数不同时，左对齐；分子加减倍数时，如果只加减首位的几倍，误差会很大，则往后借位。

解：此时如果取三位数，则变成： $\frac{186}{102}$ 分子变成100只需要减2，即减首位的2倍，误差太大，因此往后借一位，变成： $\frac{1862}{1021}$ 分子减去前两位的2倍再减首位的1倍变成1000，分母： $1862 - 12 \times 2 - 1 \times 1 = 18253$ 简化为： $\frac{18253}{1000} = 18.253$

例3

$\frac{96872}{11371} \approx \frac{969}{114} \approx \frac{969 - 96 - 27}{114 - 11 - 3} = \frac{846}{100}$

解：114 变成100，需减14，前两位的1倍加第一位的三倍，分母不是1开头的可以通过乘几倍或除几倍的方式转换成，但是一步除法用首数法即可，不建议转换之后再使用错位加减法。

例4

$\frac{83}{126} \approx \frac{X}{140}$

与X最接近的值是（ ）。
A.85 B.87 C.92 D.99

解：C。原式左对齐，分母先补个0： $\frac{830}{126}$ 分母变为140要+14=12×1+1×2，分子： $830 + 83 \times 1 + 8 \times 2 = 929$ 之前分母借0扩大了10倍，于是要缩小10倍，即： $92.9$ C最接近。

例5

$\frac{2643}{8921} =（ ）$

A.0.285 B.0.290 C.0.296 D.0.299

解：原式简化为： $\frac{264}{892}$ 方法1：分子分母同时除以8，再计算；
方法2：通过加减法，将分母变成1000，再计算。

2. （A/B）×C 型（乘除混合运算）

约分数字从而简化运算，A和C可互换位置， 例1

$\frac{54321}{1.137} \times 0.137$

将分母1.137和0.137约分简化计算。只考虑前3位，且小数点可以忽略，变为： $\frac{543}{114} \times 137$ 要将114变成137，只需加23（=前两位11x2+首位1x1），分母变为： $543 + 54 \times 2 + 5 \times 1 = 656$ 原式变成： $\frac{656}{137} \times 137 = 656$

例2

$\frac{54321}{1+37\%} \times 37\% =（ ）$

A.14234 B.14671 C.14956 D.20099

解：原式简化为： $\frac{543}{137} \times 370$ 方法1：370拆分成123.3x3，再将137和123转化求解，记住不能忘记x3的部分；
方法2：直接通过加减法，将分母137 变成370，再计算，要判断出370 是137的几倍，稍显复杂。

例3

$\frac{20582}{1.2231} \times 0.2231$

解：

3. （A/B）×（C/D）型（乘除混合运算）

把其中一个分子分母消掉，变成一步除。

例1

再一步除。把 $\frac{113}{124}$ 分子分母消掉，分子+11（前两位的1倍），分母让2853+280（前3位的1倍再补个0，因为后式是取3位数，11相当于10%级，则前式四位数也要加10%级）=3133，原式变为$\frac{4937}{3133}$，再用一步除法的方法计算。

例2

$\frac{54321}{1+37\%} \times \frac{1+45\%}{27613} =（ ）$

A.1.89 B.2.08 C.2.26 D.2.76

解：原式简化为： $\frac{543}{276} \times \frac{1.45}{1.37} \approx \frac{537}{114} \times 137 = 537 + 111 = 648$ 再把分母137+8变成145，分子537再同样放大。

4. （A/B）±（C/D）型

把BD转化成一样的数值，变成同分母分数相加，再一步除。

例1

$\frac{2538}{1.132} + \frac{4293}{1.273}$

简化为： $\frac{253}{113} + \frac{429}{127}$ 将113变为127，分子+14=11×1+1×3，分母253+（25×1+2×3）=284，原式变为： $\frac{284+429}{127}$

5. A×B型

转化成： $\frac{A \times 100B}{100}$

例

$569 \times 1.17 = 569 \times \frac{117}{100} \approx \frac{（569+56×2−5×3）×117}{100+10×2−1×3} \approx 666$

比较大小

例1

比较： $\frac{37.5}{1.25} 和 \frac{38.5}{1.26}$

解析：看成： $\frac{375}{125} 和 \frac{385}{126}$ 将375/125分母化成和385/126分母一样： $\frac{375}{125} \approx \frac{375+3}{126} \approx \frac{378}{126} < \frac{385}{126}$ 即： $\frac{37.5}{1.25} < \frac{38.5}{1.26}$

差分法

基本原理

差分法是一种快速比较两个分数大小的方法。其核心思想是通过比较“差分数”与“小分数”来判断“大分数”和“小分数”的大小关系。

规则

1. 大分数：分子和分母都较大的一方。
2. 小分数：分子和分母都较小的一方。
3. 差分数：分子和分母相减得到的分数。

比较方法

• 如果差分数大于小分数，则大分数大于小分数。
• 如果差分数小于小分数，则大分数小于小分数。

例子

例1：比较 $\frac{13}{25}$ 和 $\frac{14}{27}$ 的大小

解析：

• 左边 $\frac{13}{25}$ 为小分数，右边 $\frac{14}{27}$ 为大分数。
• 计算差分数：$\frac{14 - 13}{27 - 25} = \frac{1}{2}$。

结论：

• 因为 $\frac{1}{2}$ 大于 $\frac{13}{25}$，所以 $\frac{14}{27}$ 大于 $\frac{13}{25}$。

例2：比较 $\frac{37.5}{1.25}$ 和 $\frac{38.5}{1.26}$ 的大小

解析：

• 将分数转换为整数形式：$\frac{375}{125}$ 和 $\frac{385}{126}$。
• 计算差分数：$\frac{385 - 375}{126 - 125} = \frac{10}{1} = 10$。

结论：

• 因为 $10$ 大于 $\frac{375}{125}$，所以 $\frac{38.5}{1.26}$ 大于 $\frac{37.5}{1.25}$。