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增长率和增长量题型

增长率题型

回顾计算增长率常用的公式：

增长率=增长量基期值=现期值−基期值基期值\text{增长率} = \frac{\text{增长量}}{\text{基期值}} = \frac{\text{现期值} - \text{基期值}}{\text{基期值}}

增速和降幅

理解增速和降幅的含义

增速:

2017年营收同比增长8%，增速比去年增长了3个百分点。问2016年的增速？

解释：

  1. 什么是营收增长？

    • 这里的“营收增长8%”意思是，今年（2017年）的收入比去年（2016年）多了8%。也就是如果2016年赚了100元，那么2017年就赚了108元。

  2. 什么是增速？

    • “增速比去年增长了3个百分点”意思是，2017年的营收增长速度比2016年快了3%。所以，2016年的增速要比2017年少3个百分点。

  3. 计算2016年的增速：

    • 2017年的增速是8%，比2016年多了3%，那么2016年的增速就是： 2016年的增速=2017年的增速−3%=8%−3%=5%2016年的增速 = 2017年的增速 - 3\% = 8\% - 3\% = 5\%

总结：

  • 2016年的增速是5%。这表示2016年比前一年（2015年）的营收多了5%。

降幅

2019年上半年营收同比下降6.8%，比1-4月份降幅扩大了2.2个百分点。问2019年1-4月份的增速？

解释：

  1. 什么是营收下降？

    • 这里的“下降6.8%”意思是，2019年上半年的收入比去年同期少了6.8%。比如，如果去年上半年赚了100元，今年只赚了93.2元（100 - 6.8 = 93.2）。

  2. 什么是降幅扩大？

    • “降幅扩大2.2个百分点”意思是，1-4月的降幅比上半年要小一些。也就是说，1-4月的降幅比6.8%小2.2%。

  3. 计算1-4月的降幅：

    • 2019年上半年的降幅是6.8%，而1-4月的降幅要比6.8%少2.2%，那么1-4月的降幅就是： 2019年1−4月的降幅=6.8%−2.2%=4.6%2019年1-4月的降幅 = 6.8\% - 2.2\% = 4.6\%

总结：

  • 2019年1-4月的降幅是4.6%。这表示1-4月的收入比去年同期少了4.6%。

总结

  • 增速表示收入比去年多了多少。
  • 降幅表示收入比去年少了多少。

例1
2013 年 1-3 月，全国规模以上工业企业实现利润 11740.1 亿元，比上年同期增长 12.1%，增幅比 1-2 月回落 5.1 个百分点。问2013 年 1-2 月规模以上工业企业实现利润同比增长率：
A.7%   B.12.1%   C.17.2%   D.17.4%
解析：
增幅回落代表原来的增长幅度比现在的大，所以：

增幅回落=前期增幅−现期增幅\text{增幅回落} = \text{前期增幅} - \text{现期增幅}

所以：

增长率1−2月=增长率1−3月+增幅回落=12.1%+5.1%=17.2%{增长率}_{1-2月} = {增长率}_{1-3月} + \text{增幅回落} = 12.1\% + 5.1\% = 17.2\%

所以答案为 C. 17.2%

例2
2014 年我国粮食种植面积 11274 万公顷，比上年增加 78 万公顷。棉花种植面积 422 万公顷，减少 13 万公顷。油料种植面积 1408 万公顷，增加 6 万公顷。糖料种植面积 191 万公顷、减少 9 万公顷。 问：2014 年，我国粮食种植面积同比增速比油料种植面积同比增速（ ）。
A．高不到 1 个百分点    B．高 1 个百分点以上
C．低不到 1 个百分点    D．低 1 个百分点以上

解析： 根据公式

增速=现期−基期基期=增长量基期=增长量现期−增长量增速 = \frac{现期 - 基期}{基期} = \frac{增长量}{基期} = \frac{增长量}{现期 - 增长量}

所以(近似后使用直除法直接计算)：

增速粮食=7811274−78≈7811200×100%≈0.7%{增速}_{粮食} = \frac{78}{11274 - 78} \approx \frac{78}{11200} \times 100\% \approx 0.7\% 增速油料=61408−6≈61400×100%≈0.3%{增速}_{油料} = \frac{6}{1408 - 6} \approx \frac{6}{1400} \times 100\% \approx 0.3\%

所以粮食增速比油料增速高不到一个百分点，选 A.

增长量题型

假设增长率为r

增长量=现期值−基期值=基期值×r=现期值1+r×r\text{增长量} = \text{现期值} - \text{基期值} = 基期值 \times r = \frac{现期值}{1 + r} \times r

常用技巧

  1. 特殊分数 如果增长率 r 可以化为特殊分数
r=1nr = \frac{1}{n}

则：

增长量=现期值1+r×r=现期值1+1n×1n=现期值n+1=基期值n\text{增长量} = \frac{现期值}{1 + r} \times r = \frac{现期值}{1 + \frac{1}{n}} \times \frac{1}{n} = \frac{现期值}{n + 1} = \frac{基期值}{n}

例1，如果r=12.5%，则：

r=18r = \frac{1}{8}

所以：

增长量=现期值8+1=基期值8\text{增长量} = \frac{现期值}{8 + 1} = \frac{基期值}{8}

例2，如果r=-12.5%，则：

r=1−8r = \frac{1}{-8}

所以：

增长量=现期值−8+1=−现期值7=−基期值8\text{增长量} = \frac{现期值}{-8 + 1} = -\frac{现期值}{7} = -\frac{基期值}{8}

例
2015 年全国共建立社会捐助工作站、点和慈善超市 3.0 万个，比上一年减 少 0.2 万个，其中：慈善超市 9654 个，同比下降 5.1%。 问：2015 年，全国建立的慈善超市较 2014 年约： A．增加 519 个   B．减少 519 个   C．增加 686 个   D．减少 686 个

解析：

增长量=现期值1+r×r=96541−0.051×(−0.051)=96540.951×(−0.051)≈10000×(−0.051)≈−510增长量 = \frac{现期值}{1 + r} \times r = \frac{9654}{1 - 0.051} \times (-0.051) \\ = \frac{9654}{0.951} \times (-0.051) \approx 10000 \times (-0.051) \approx -510

答案为B最为接近.

例
2017 年粮食产量 61791 万吨，比上年增加 166 万吨，增产 0.3%。全年棉花产量 549 万吨，比上年增产 3.5%。油料产量 3732 万吨，增产 2.8%。糖料产量12556 万吨，增产 1.7%。茶叶产量 255 万吨，增产 6.0%。 问：2017 年，我国棉花的产量比 2016 年约增产了（）万吨。 A.7   B.19   C.31   D.48

解析：

  • 解法一：特殊分数
r=3.5%≈3.3%=130r = 3.5\% \approx 3.3\% = \frac{1}{30}

所以：

增长量=现期量n+1=54931≈18\text{增长量} = \frac{现期量}{n+1} = \frac{549}{31} \approx 18
  • 解法二：代入公式近似直除法
增长量=现期量1+r×r=5491+0.035×0.035≈5501×0.035≈17\text{增长量} = \frac{现期量}{1 + r} \times r = \frac{549}{1 + 0.035} \times 0.035 \approx \frac{550}{1} \times 0.035 \approx 17

两种方法得出的答案都最接近 B. 19

增长量比较

1.增长量和现期量与增长率的关系 根据公式

增长量=现期量1+r×r=现期量×11+1r增长量 = \frac{现期量}{1 + r} \times r = 现期量 \times \frac{1}{1 + \frac{1}{r}}

所以： 增长量随现期量增大而增大，随 r 的增大而增大

利用极限法思考：
- 如果 r 趋近于无穷大，则 1/r 趋近于 0，所以增长量趋近于现期量。
- 如果 r 趋近 0，比如为 0.0000001，则 1/r 趋近于无穷大，所以增长量趋近于 0。
- 所以增长量随 r 的增大而增大。

2.两个增长量和现期量的大小关系 假设现期量分别为 A 和 B，增长率分别为 r1 和 r2，则比较二者增长量大小

Ar11+r1和Br21+r2\frac{Ar_{1}}{1 + r_{1}} \quad 和 \quad \frac{Br_{2}}{1 + r_{2}}
  1. 如果 A > B 且 r1 > r2，则增长量 A > 增长量 B（大大则大）
  2. 一大一小，近似比较 现期量×r 的乘积
    • r1和r2的差距在20%以内则直接比较乘积
    • r1和r2的差距在20%以上，列出完整式子进行近似估算
    • 如果两个乘积比较接近，列出完整式子进行近似估算
  3. 使用分数比较的常用方法：直除法和分子分母增速比较法

例
2010 年，我国机电产品出口 9334.3 亿美元，同比增加 30.9%;高新技术产品出口 4924.1 亿美元，同比增长 30.7%。船舶、汽车零部件出口保持较快增长，其中船舶出口同比增长 44.5%，汽车零部件出口同比增长 44.1%。2010 年，机电产品进口额达到 6603.1 亿美元，同比增长 34.4%，高新技术产品进口额达到 4126.7 亿美元，同比增长 33.2%。 问题：在 2010 年我国进出口贸易中，下列哪一项的同比增长金额最高？ A．机电产品出口   B．高新技术产品出口   C．机电产品进口   D．高新技术产品进口

解析： 观察增长率均差不多接近 1/3，所以直接比较现期量，现期量大则大，由于机电产品出口现期量最大（9334.3），所以机电产品出口同比增长金额最高。选A

例
抽样调查数据显示，2014 年 1-5 月 A 区农村居民人均现金收入 9053 元，同比增长 10.3%，增速较去年同期提高 0.4 个百分点，其中人均工资性收入为 5421元，同比增长 8.5%；人均家庭经营收入为 760 元，同比下降 0.6%；人均财产性收入为 1241 元，同比增长 28.7%；人均转移性收入为 1631 元，同比增长 10%。 问：2014 年 1-5 月 A 区农村居民四项人均现金收入同比增量由高到低依次为（ ）。
A.工资性收入、转移性收入、财产性收入、经营性收入
B.财产性收入、转移性收入、工资性收入、经营性收入
C.工资性收入、财产性收入、转移性收入、经营性收入
D.经营性收入、工资性收入、转移性收入、财产性收入

解析：

  1. 观察增长率，发现经营性收入为负数其余为正数，所以经营性收入一定最小，排除D
  2. 使用现期乘以增长率公式进行比较大小
工资性收入≈5421×8.5%≫5500×110=550工资性收入 \approx 5421 \times 8.5\% \gg 5500 \times \frac{1}{10} = 550 转移性收入≈1631×10%≈160转移性收入 \approx 1631 \times 10\% \approx 160 财产性收入≈1241×28.7%≈1200×13≈400财产性收入 \approx 1241 \times 28.7\% \approx 1200 \times \frac{1}{3} \approx 400

所以顺序为：工资性收入、财产性收入、转移性收入、经营性收入，选C

例 pic4 问：2011～2017 年，全国二手车交易量同比增量低于 80 万辆的年份有几个？
A．3   B．4   C．5   D．7

解析： 因为

同比增长量=现期量−基期量同比增长量 = 现期量 - 基期量

所以只需要更具公式算出 2011年增长量，其余年份可以用这一年总量减去前一年总量得到。

  1. 计算 2011年增长量，因为 12.4% ≈ 1/8，所以：
同比增长量2011=6821+8≈70+<80同比增长量_{2011} = \frac{682}{1+8} \approx 70^{+} < 80
  1. 使用现期量 - 基期量公式计算其余年份增长量
同比增长量2012=784−682≈100+>80同比增长量_{2012} = 784 - 682 \approx 100^{+} > 80 同比增长量2013=847−784≈60+<80同比增长量_{2013} = 847 - 784 \approx 60^{+} < 80 同比增长量2014=920−847≈70+<80同比增长量_{2014} = 920 - 847 \approx 70^{+} < 80 同比增长量2015=942−920≈20<80同比增长量_{2015} = 942 - 920 \approx 20 < 80 同比增长量2016=1039−942≈100−>80同比增长量_{2016} = 1039 - 942 \approx 100^{-} > 80 同比增长量2017=1240−1039≈200+>80同比增长量_{2017} = 1240 - 1039 \approx 200^{+} > 80

所以低于 80 万辆的年份有 2011、2013、2014、2015 年，共 4 个，选B

例： pic5 问：2016 年，小微服务业的下列各行业，按营业收入同比变化量的大小排序正确的（ ）。
A．文化、体育和娱乐业＞卫生和社会工作＞科学研究和技术服务业＞教育
B．文化、体育和娱乐业＞卫生和社会工作＞教育＞科学研究和技术服务业
C．文化、体育和娱乐业＞科学研究和技术服务业＞卫生和社会工作＞教育
D．卫生和社会工作＞文化、体育和娱乐业＞科学研究和技术服务业＞教育

解析：

  1. 遇到增长量排序问题首先考虑使用公式
增长量≈现期量×增长率增长量 \approx 现期量 \times 增长率
  1. 现期量和增长率都比较大，所以直接比较现期量和增长率乘积(两位数乘法速算技巧参考“资料分析-速算技巧-乘法技巧”章节)
文化、体育和娱乐业=7.6×6.7%≈0.5文化、体育和娱乐业 = 7.6 \times 6.7\% \approx 0.5 卫生和社会工作=3.3×12.5%≈0.4卫生和社会工作 = 3.3 \times 12.5\% \approx 0.4 科学研究和技术服务业=12.9×0.8%≈0.1科学研究和技术服务业 = 12.9 \times 0.8\% \approx 0.1 教育=2.2×4.2%≈0.08教育 = 2.2 \times 4.2\% \approx 0.08

所以顺序为：文化、体育和娱乐业＞卫生和社会工作＞科学研究和技术服务业>教育，选A

基期现期题型比重题型