第二节 乘法技巧

一、小分互换法

1. 乘化除

例1

例2

例3

2. 415份数法（适用于增长率R>10%）

例子 一个数除以5等于被除数缩小10倍，再乘以2。

例： $90 \div 5 = 90 \times (1/5) = 90 \times 0.2 = 9 \times 2 = 18;$

$90 \div 5 = 90 \div (1 / 0.2) = 9 \times 2 = 18;$

$70 \div 5 = 70 \div (1 / 0.2) = 7 \times 2 = 14;$

3. 百化分特殊数值

一些常见的分数和小数的近似值：

• $0.167 \approx \frac{1}{6}$
• $0.143 \approx \frac{1}{7}$
• $0.286 \approx \frac{2}{7}$
• $0.429 \approx \frac{3}{7}$
• $0.125 = \frac{1}{8}$
• $0.375 = \frac{3}{8}$
• $0.625 = \frac{5}{8}$
• $0.091 \approx \frac{1}{11}$
• $0.111 \approx \frac{1}{9}$
• $0.083 \approx \frac{1}{12}$
• $0.077 \approx \frac{1}{13}$
• $0.08 = \frac{1}{12.5}$
• $0.071 \approx \frac{1}{14}$
• $0.067 \approx \frac{1}{15}$
• $0.063 \approx \frac{1}{16}$
• $0.056 \approx \frac{1}{18}$
• $0.059 \approx \frac{1}{17}$
• $0.053 \approx \frac{1}{19}$
• $0.0476 \approx \frac{1}{21}$
• $0.0286 \approx \frac{1}{35}$

4. 放缩法

利用倍数关系转换（10倍、100倍等），实现百化分。

例子

10倍缩放

• $25\% = \frac{1}{4}$，则$2.5\% = \frac{1}{40}$
• $14.3\% = \frac{1}{7}$，则$1.43\% = \frac{1}{70}$
• $6.7\% = \frac{1}{15}$，则$67\% = \frac{1}{1.5}$

2倍缩放

• $\frac{1}{7} \approx 14.3\%$，$\frac{1}{14} \approx 7.1\%$

5. 取中法

小数接近两个分数，取中。

例子

• $20\% = \frac{1}{5}$，$16.7\% = \frac{1}{6}$，则$18.5\% \approx \frac{1}{5.5}$
• $14.3\% = \frac{1}{7}$，$16.7\% = \frac{1}{6}$，则$15.4\% \approx \frac{1}{6.5}$
• $33.3\% = \frac{1}{3}$，$25\% = \frac{1}{4}$，则$28.7\% \approx \frac{1}{3.5}$

推理：

• $14.3\% = \frac{1}{7}$，$28.7\% \approx 14.3\% \times 2 = \frac{1}{7} \times 2 = \frac{2}{7} = \frac{1}{3.5}$

例题

例1 假设现期9100，增长率16.8%，求基期和增长量。

解：

则基期6份，增长量1份，现期7份，每份为：

因此增长量为1300，基期为：

误差估计：将增长率估大，则一份变大；将增长率估小，则一份变小。多份要考虑多份误差。

二、特殊值乘法速算技巧

一、一个数乘以1.1

错位相加法

一个数乘以1.1等于这个数错位相加。

例子：

两位数乘以11

将两位数拆开放两边，两数相加放中间。如果两数相加超过10，则向前进1位。

例子：

二、一个数乘以0.9

一个数乘以0.9等于这个数错位相减。

例子：

三、一个数除以25

一个数除以25等于这个数乘以4，小数点向前移两位。

例子：

四、一个数除以125

一个数除以125等于这个数乘以8，小数点向前移三位。

例子：

五、一个数乘以1.5

一个数乘以1.5等于这个数加上本身的一半。

例子：

六、一个数除以5

一个数除以5等于这个数乘以2，小数点向前移一位。

例子：

七、乘法拆分

将乘数拆成两个常见数值（如1%、5%、10%、50%等），然后分别计算再相加。

常用小数拆分：

• 45% = 50% - 5%
• 55% = 50% + 5%
• 15% = 10% + 5%
• 60% = 50% + 10%
• 95% = 1 - 5%
• 90% = 1 - 10%

例子：

八、应用

常数乘以11

给出多个年份现期，求增长率大于10%的年份有几个？

例子： 假设某年份现期为123，增长率为11%，则：

三、乘法拆分技巧

常用小数拆分

将乘数拆成两个常见数值（如1%、5%、10%、50%等），然后分别计算再相加。公式如下：

常见拆分比例

• 45% = 50% - 5%
• 55% = 50% + 5%
• 15% = 10% + 5%
• 60% = 50% + 10%
• 95% = 1 - 5%
• 90% = 1 - 10%

例子解析

例1：628 乘以 1 + 2.5%

将 2.5% 看成 0.025，计算如下：

因此：

例2：6022 乘以 49%

计算 50% 和 1%：

因此：

例3：932 乘以 97%

计算 3%：

因此：

重点内容总结

1. 乘法拆分：将复杂的乘法拆分成简单的加法和减法。
2. 常见比例：熟记常见的百分比拆分比例，便于快速计算。
3. 实际应用：通过例子理解拆分方法的实际应用，提升计算速度。